Potenze

[Bad90]

Ma se io ho:

$ (x^4-1)*(x^4+1) $

Il prodotto della $ x $ sarà $ (x^4-1)*(x^4+1) =>$ $ x^8 $ oppure $ x^16 $

Cioè avrò il seguente risultato?

$ (x^4-1)*(x^4+1)=>(x^8+x^4-x^4-1) $

Oppure sarà:

$ (x^4-1)*(x^4+1)=>(x^16+x^4-x^4-1) $

[giammaria2]

Il prodotto di due potenza con la stessa base si ottiene sommando gli esponenti: $a^m*a^n=a^(m+n)$, quindi $x^8$. Usa il buon senso: $a^m$ significa $a*a*...*a$ per $m$ volte, poi ce ne sono altre $n$: in tutto ce ne sono $m+n$.
Ti stai confondendo con la potenza di potenza: $(a^m)^n=a^(m*n)$

[Bad90]

"giammaria":Il prodotto di due potenza con la stessa base si ottiene sommando gli esponenti: $a^m*a^n=a^(m+n)$, quindi $x^8$. Usa il buon senso: $a^m$ significa $a*a*...*a$ per $m$ volte, poi ce ne sono altre $n$: in tutto ce ne sono $m+n$.
Ti stai confondendo con la potenza di potenza: $(a^m)^n=a^(m*n)$

Grazie mille,
Hai compreso subito dove mi stavo confondendo

[Bad90]

Se io ho la seguente potenza $ (-y-m)^2 $, si tratta di un quadrato, potrà essere pensata in questo modo

$ -(y+m)^2 $

Quindi risolvendo il quadrato, sarà:

$ -(y^2+2ym+m^2) $

Poi cambio il segno dovuto al meno prima della parentesi, ed avrò:

$ -y^2-2ym-m^2 $

Giusto?
Oppure, prima di risolverlo, devo moltiplicare per $ -1 $ in questo modo?

$ -(y+m)^2 =>(-)*-(y+m)^2=>(y+m)^2$

Perchè penso sia la stessa cosa, anche perchè, se non lo faccio prima a moltiplicare per $ -1 $ , mi converrebbe farlo dopo, cioè da questa:

$ -y^2-2ym-m^2 $, moltiplicando per $ -1 $ arrivo sempre a questa $ y^2+2ym+m^2 $

P.S. Quando faccio questi esempi, è corretto porre il quadrato $ =0 $ Cioè così? $ y^2+2ym+m^2=0 $. Il dubbio mi viene perchè se ho un quadrato, questo sarà per forza $ >=0 $ , ma penso sia giusto scrivere che è $ =0 $ , in quanto non conosco il valore delle incognite, vero?

[Kashaman]

"Bad90":Se io ho la seguente potenza $ (-y-m)^2 $, si tratta di un quadrato, potrà essere pensata in questo modo

$ -(y+m)^2 $

Assolutamente no. Niente ti permette di portare quel meno fuori dal quadrato.
Più precisamente hai che $(-y-m)^2=(-(y+m))^2=(-1)^2*(y+m)^2=1*(y^2+2ym+m^2)$
non sei convinto di ciò?
ti ho già detto che quando hai dubbi su questo genere puoi calcolarti direttamente
$(-y-m)^2 =(-y-m)(-y-m) = y^2+ym+ym+m^2=y^2+2ym+m^2=(y+m)^2$

[Bad90]

"Kashaman":
Ti ho già detto che quando hai dubbi su questo genere puoi calcolarti direttamente
$(-y-m)^2 =(-y-m)(-y-m) = y^2+ym+ym+m^2=y^2+2ym+m^2=(y+m)^2$

Ti ringrazio per avermi ricordato!

[Bad90]

Ma se io ho $ x^2=y^2+16 $ questa potrà essere anche $ x=+- sqrt( y^2+16 )$

Oppure sarà solo $ x=sqrt( y^2+16 )$

Poi mi chiedo se ho due valori della $ y^2=0^^y^2=9 $, in questo caso la sola $ y^2 $ vera potrà essere solo $ y^2=9 $ , mentre la $ y^2=0 $ non può essere perchè deve essere per forza positiva e quindi $ >0 $

[Kashaman]

Dipende dove prendi $x,y$ , se li consideri in $RR$ ($ZZ$ oppure $QQ$ ) allora vale la prima .
Se sia $x,y$ sono positivi allora vale la seconda.
Mi spiego , prendi l'equazione $x^2=4$ essa ha senso se e solo se definisci il suo campo di esistenza.
Se ricerchi la soluzione solo per $x$ positivi allora $ x^2=4=>x=2$
se invece vuoi la soluzione per qualunque sia $x$ llora $x^2=4 => x=+-2$

[giammaria2]

Il simbolo di radice quadrata indica la soluzione positiva mentre nelle equazioni noi vogliamo tutte le soluzioni, quindi da $x^2=y^2+16$ si deduce $x=+-sqrt(y^2+16)$. Come ti ha detto Kashaman, il $+-$ non c'è se vuoi la sola soluzione positiva.
Ho scritto "la soluzione positiva" ma in realtà avrei dovuto scrivere anche "o nulla"; spesso per brevità si trascura questa aggiunta ma non è esatto e bisognerebbe metterla sempre. Così diciamo spesso che $y^2$ è positivo, ma in realtà può essere positivo o nullo, cioè $>=0$: i due valori che citi vanno entrambi bene. Ovviamente, a meno che il problema ne escluda uno per qualche altro ragionamento.

[Bad90]

Ok, vi ringrazio!

[Bad90]

Se ho $ (root(4)(2))^5 $ , a quanto sarà uguale?
Posso dire dire che è:

$ (root(4)(2))^5=> root(20)(2^5) $

[giammaria2]

No: $(root(4) 2)^5=root(4)(2^5)=2 root(4) 2$.

Invece $root(20)(2^5)=root(4)2$.

[Bad90]

1) Posso dire che $ (root(3)(2))^(4/7) $ sarà:

$ (root(21)(2^4)) $



2) Posso dire che:

$ (1/sqrt(2))^sqrt(5)=sqrt(5)/root(4)(10) $

3) Posso dire che:

$ (sqrt(3))^-sqrt(2)=sqrt(2)/sqrt(3) $

4) Se devo completare la frase che segue:

$ 5^3 $ è il prodotto......

Posso dire che questa potenza è il prodotto di tre volte $ 5 $

[Kashaman]

scusa, ma che proprietà stai usando? trovo assurdo cose come
$(sqrt(3)^(-sqrt2) $= $(sqrt5)/(sqrt10)$...
scrivi le proprietà che usi, poi vediamo se puoi "dire". Facciamo chiarezza sulla teoria.

[Bad90]

Sinceramente ho cercato di risolverlo come mi e' venuto in mente! Quale proprietà avrei dovuto utilizzare? Ho cominciato oggi con questi argomenti, cosa mi consigli?

[Kashaman]

prendere un libro dove sono spiegate queste cose...
alla fine devi trattare quelle potenze come hai sempre fatto.
Ti faccio un esempio
$sqrt2 = 2^(1/2)$
quindi
ad esempio $\sqrt2^(sqrt2)= 2^(sqrt2/2)$

[Bad90]

Allora, scusate la confusione fatta, ecco cosa sono riuscito a fare:

$ (1/sqrt(2))^sqrt(5)=sqrt(2)^-sqrt(5) =2^(-sqrt(5)/2) $

Mentre:

$ (sqrt(3))^-sqrt(2)= (1/sqrt(3))^sqrt(2)= 3^(-sqrt(2)/2)$

[Kashaman]