Polinomio parametrico

[GualtieroMalghesi]

Buongiorno,
ho un esercizio da porvi che non riesco a risolvere. Vorrei alcuni consigli su come risolverlo in modo da poterlo risolvere da me.
Considerare il polinomio:
$P(x)=ax^3+bx^2+cx+2$
determinare $a,b,c$ sapendo che:
1- il polinomio diviso per $(x-1)$ o per $(x-2)$, ha lo stesso resto;
2- il resto della divisione di $P(x)$ per $(x+1)$ supera di 1 il resto della divisione di $P(x)$ per $(x+2)$;
3- la somma dei tre coefficienti incogniti è zero.

Grazie

[@melia]

Devi usare il Teorema del resto.
Con la -1- e la -2- applicando il Teorema del resto ottieni due equazioni in $a, b, c$ che metterai a sistema con $a+b+c=0$ ottienuta da -3-

[GualtieroMalghesi]

Salve @melia,
il teorema del resto è la prima cosa a cui ho pensato e che ho applicato.
1.
$P(x)=a+b+c+2=0$ per $x=1$
Oppure
$P(x)=4a+2b+c+1=0$ per $x=2$
2.
Il resto del polinomio diviso per $(x+1)$
$P(x)=-a+b-c+2=0$ per $x=-1$
Supera di 1
$P(x)=-4a+2b-c+1=0$ per $x=-2$
3.
$ax+bx+cx=0$

Scusa @melia, ma non capisco.

[axpgn]

@melia ha detto altro ...

1)

$R=P(1)=a+b+c+2$
$R=P(2)=8a+4b+2c+24$

Quindi $P(1)=P(2)$

2)

$R_1=P(-1)=-a+b-c+2$
$R_2=P(-2)=-8a+4b-2c+2$

Quindi $R_1=R_2+1$

3)

$a+b+c=0$

[GualtieroMalghesi]

Avete perfettamente ragione. Io sbagliavo l’ugualianza del secondo punto, infatti ponevo $R(-1)+1=R(-2)$, anziché $R(-1)=R(-2)+1$.
Grazie mille.