Polinomio da scomporre
Dovrei scomporre questo polinomio in fattori lineari:
$ x^5+13x^4+10x^3-14x^2-3x+9 $
Fin ora sono arrivato a:
$ (x+1)(x^4+12x^3-2x^2-12x+9) $
E ora dovrei scomporre il secondo. Ora per trovare le radici ho visto fra i divisori di 9 (l'obiettivo era applicare Ruffini) ma non riesco a trovarne, eppure il polinomio dovrebbe essere scomponibile in R. In generale si deve guardare solo ai divisori di a0/an oppure anche ad altri numeri come radici? Grazie in anticipo per la risposta.
$ x^5+13x^4+10x^3-14x^2-3x+9 $
Fin ora sono arrivato a:
$ (x+1)(x^4+12x^3-2x^2-12x+9) $
E ora dovrei scomporre il secondo. Ora per trovare le radici ho visto fra i divisori di 9 (l'obiettivo era applicare Ruffini) ma non riesco a trovarne, eppure il polinomio dovrebbe essere scomponibile in R. In generale si deve guardare solo ai divisori di a0/an oppure anche ad altri numeri come radici? Grazie in anticipo per la risposta.
Risposte
Ho verificato con il grafico della funzione. Non ci sono ulteriori soluzioni razionali (che si possano trovare con Ruffini), ci sono solo altri due zeri irrazionali. Il polinomio NON è scomponibile in soli fattori di primo grado.
Il tuo polinomio non è ulteriormente scomponibile nel campo reale.
Ciao.
Marco
Ciao.
Marco
"@melia":
Ho verificato con il grafico della funzione. Non ci sono ulteriori soluzioni razionali (che si possano trovare con Ruffini), ci sono solo altri due zeri irrazionali. Il polinomio NON è scomponibile in soli fattori di primo grado.
Come sempre, Sara, mi hai preceduto. Se mi permetti una punturina di zanzara, direi due irrazionali e due immaginari.
Affettuosamente.
Marco
Grazie mille ad entrambi, ho solo un'ultima domanda... Se trovassi queste due radici irrazionali, poi il polinomio si potrebbe scomporre ulteriormente? (non intendo necessariamente con fattori di primo grado, anche di secondo o terzo)
Indipendentemente da quante soluzioni reali abbia, un polinomio è sempre scomponibile in fattori di primo grado e fattori di secondo grado irriducibili.
Questo non implica che sia poi semplice fare la scomposizione
Cordialmente, Alex
Questo non implica che sia poi semplice fare la scomposizione
Cordialmente, Alex
Nell'insieme dei reali ogni polinomio è scomponibile in fattori di primo e secondo grado, però, visto gli strumento che abbiamo a disposizione (teorema di Ruffini e equazioni di secondo grado) siamo in grado di trovare le soluzioni esatte solo se sono razionali o se il polinomio è di secondo grado.
I polinomi di secondo grado non riducibili in fattori in $RR$, lo sono comunque in $CC$.
I polinomi di secondo grado non riducibili in fattori in $RR$, lo sono comunque in $CC$.
Grazie mille a tutti per i chiarimenti!
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