Polinomi simmetrici

[squalllionheart]

Rega nn capisco il significato di polinomi simmetrici.
Def: un polinomio $f(x1,...,xn)$ in $K[x1,...,xn]$è simmetrico se è invariante, ossia se resta lo stesso se si opera una permutazione arbitraria delle indeterminate.
Ad esempio:
In $K[x1,x2,x3]$
$2x1+2x2+2x3-3(x1)^2-3(x2)^2-3(x3)^2$
è simmetrico ad
$x1(x2)^3+x2(x1)^3+x1(x3)^3+x3(x1)^3+x2(x3)^3+x3(x2)^3$

p.s.
Mi dite la formula per i pedici
Con $K$ intendo $KK$ ma nn mi visualizza l'esatto simbolo intendo quello del campo a n inteterminate, illuminatemi anche con questo, grazie

Spero a presto

[fu^2]

gli invarianti non li ho ancora fatti... posso solo rispondere che per far il campo generico K non esiste il simbolo ci si accontenta poi per il pedice basta che scrivi x_1 che risulta $x_1

ciao

[_Tipper]

"squalllionheart":Con $K$ intendo $KK$ ma nn mi visualizza l'esatto simbolo intendo quello del campo a n inteterminate, illuminatemi anche con questo, grazie

Indendi qualcosa del genere? [size=150]$\mathbb{K}$[/size], [size=150]$\mathcal{K}$[/size], [size=150]$\mathfrak{K}$[/size]...

[fu^2]

"Tipper":[quote="squalllionheart"]Con $K$ intendo $KK$ ma nn mi visualizza l'esatto simbolo intendo quello del campo a n inteterminate, illuminatemi anche con questo, grazie

Indendi qualcosa del genere? [size=150]$\mathbb{K}$[/size], [size=150]$\mathcal{K}$[/size], [size=150]$\mathfrak{K}$[/size]...[/quote]

che figata non la conoscevo esto codice
comunque penso intenda questo $\mathbb{K}$

[gugo82]

"Tipper":[quote="squalllionheart"]Con $K$ intendo $KK$ ma nn mi visualizza l'esatto simbolo intendo quello del campo a n inteterminate, illuminatemi anche con questo, grazie

Indendi qualcosa del genere? [size=150]$\mathbb{K}$[/size], [size=150]$\mathcal{K}$[/size], [size=150]$\mathfrak{K}$[/size]...[/quote]
Purtroppo non riesco a vedere i caratteri speciali con FireFox: sapete se devo installare qualcosa per visualizzarli?
Comunque, conoscendo tali caratteri per via del LaTex, credo che squalllionheart intendesse $\mathbb{K}$.


Per ritornare IT e rispondere a squalllionheart:

Un polinomio $p(X_1,\ldots,X_n) in \mathbb{K}[X_1,\ldots,X_n]$ si dice simmetrico se e solo se per ogni fissata permutazione degli indici $sigma:{1,\ldots,n}to{1,\ldots,n}$* risulta formalmente $p(X_(sigma(1))\ldots,X_(sigma(n)))=p(X_1,\ldots,X_n)$.

Fuori dal simbolismo, un polinomio è simmetrico se esso conserva la stessa forma quando decidi di scambiare di posto tutte (o solo qualcuna) delle indeterminate $X_1,\ldots, X_n$.
La simmetria non è una relazione tra due polinomi (cioè non puoi dire "questo polinomio è simmetrico ad un altro") ma è una proprietà di un polinomio.

Il primo polinomio da te riportato, cioè $p(X_1,X_2,X_3)=2X_1+2X_2+2X_3-3X_1^2-3X_2^2-3X_3^2$, è simmetrico: ad esempio, se applichi la permutazione $sigma:{1,2,3}to{1,2,3}$ che assegna $sigma(1)=2$, $sigma(2)=3$, $sigma(3)=1$, esso si muta in:

$p(X_2,X_3,X_1)=2X_2+2X_3+2X_1-3X_2^2-3X_3^2-3X_1^2$

che è uguale a $p(X_1,X_2,X_3)$ per la proprietà commutativa di $\mathbb{K}[X_1,X_2,X_3]$; lo stesso puoi concludere per una permutazione qualunque $sigma$, quindi il polinomio $p(X_1,X_2,X_3)=2X_1+2X_2+2X_3-3X_1^2-3X_2^2-3X_3^2$ è simmetrico.

Spero di essere stato utile in qualche modo.
Per altre informazioni puoi leggere qui.


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*Ovviamente una permutazione degli indici è un'applicazione biettiva di ${1,\ldots,n}$ in sé.

[squalllionheart]

con $KK$ intendo un campo qualunque che si scrive solitamente con un carattere leggermente diverso di $K$ ad esempio gli interi $Z$ si scrive $ZZ$.
Grazie per le spiegazioni.