Polinomi
Determinare un polinomio $p(x)$ di 3° grado tale che $P(0)=0$ e tale che
$p(x)-p(x-1)=x^2$; sfruttare tale risultato per trovare la somma dei quadrati dei
primi 10 numeri naturali.
$p(x)-p(x-1)=x^2$; sfruttare tale risultato per trovare la somma dei quadrati dei
primi 10 numeri naturali.
Risposte
allora.. penso eh!
il polinomio diventa
$ax^3+bx^2+cx-[a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)]=x^2$
ora,svolgendo i conti
$ax^3+bx^2+cx-[a(x^3+3x^2-3x-1)+b(x^2-2x+1)+cx-c)]=x^2$
$ax^3+bx^2+cx-ax^3-3ax^2+3ax+a-bx^2+2bx-b-cx+c=x^2$
Quindi rimane $-3ax^2+(3a-2b)x+a-b+c=x^2$
Ora,naturalmente la x di primo grado deve eliminarsi, quindi $3a=2b$ e posto $-3a=1$ allora $a=-1/3$ e $b=-1/2$. Ora deve fare $a-b+c=0$ e quindi $-1/3+1/2+c=0$ da cui $c=-1/6$
il polinomio diventa
$ax^3+bx^2+cx-[a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)]=x^2$
ora,svolgendo i conti
$ax^3+bx^2+cx-[a(x^3+3x^2-3x-1)+b(x^2-2x+1)+cx-c)]=x^2$
$ax^3+bx^2+cx-ax^3-3ax^2+3ax+a-bx^2+2bx-b-cx+c=x^2$
Quindi rimane $-3ax^2+(3a-2b)x+a-b+c=x^2$
Ora,naturalmente la x di primo grado deve eliminarsi, quindi $3a=2b$ e posto $-3a=1$ allora $a=-1/3$ e $b=-1/2$. Ora deve fare $a-b+c=0$ e quindi $-1/3+1/2+c=0$ da cui $c=-1/6$
Quindi il polinomio è
$p(x)=-1/3x^3-1/2x^2-1/6x$
Ora, per la seconda richiesta, nota questo.
Siccome per ipotesi
$p(x)-p(x-1)=x^2$
possiamo dire che
$p(1)-p(0)=1^2$
$p(2)-p(1)=2^2$
$p(3)-p(2)=3^2$
....
$p(10)-p(9)=10^2$
Ora somma membro a membro le dieci equazioni, vedi cosa ti viene...
$p(x)=-1/3x^3-1/2x^2-1/6x$
Ora, per la seconda richiesta, nota questo.
Siccome per ipotesi
$p(x)-p(x-1)=x^2$
possiamo dire che
$p(1)-p(0)=1^2$
$p(2)-p(1)=2^2$
$p(3)-p(2)=3^2$
....
$p(10)-p(9)=10^2$
Ora somma membro a membro le dieci equazioni, vedi cosa ti viene...
che non viene....
anzi.. è il segno - che nn mi convince.. cos'è sbagliato??
anzi.. è il segno - che nn mi convince.. cos'è sbagliato??
ok...quindi il polinomio è :
$1/3x^3+1/2x^2+1/6$ giusto?
$1/3x^3+1/2x^2+1/6$ giusto?
E' il segno dei tripli prodotti del trinomio particolare nel primo conto che è sbagliato. Basta solo invertire i segni lì e rivalutare i conti.
Rifacendo i conti il polinomio dovrebbe venire così: $p(x)=1/3x^3-1/2x^2-5/6x$
no..il polinomio è:
$1/3x^3+1/2x^2+1/6x$
però non ho capito la seconda parte del problema..qualcuno me la potrebbe spiegare??
$1/3x^3+1/2x^2+1/6x$
però non ho capito la seconda parte del problema..qualcuno me la potrebbe spiegare??
Hai ragione, scusa un errore di segno in un passaggio mi ha sballato il resto.
al posto di $P(x)$ sostituisci a x i primi dieci numeri naturali e vedi che la relazione è verificata.. cm ha fatto prima steven. cmq si,errore di calcolo..scusate..
naturalmente la relazione
$p(x)-p(x-1)=x^2$
$p(x)-p(x-1)=x^2$
per quanto riguarda la seconda parte osserva che applicando la proprietà indicata la somma richiesta diventa uguale a
$P(10) - P(0)$ = P(10)
sostituisc nell'espressione del polinomio e la trovi = 385
$P(10) - P(0)$ = P(10)
sostituisc nell'espressione del polinomio e la trovi = 385
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