Polinomi
Costruire il polinomio P(x) di grado minimo, con coefficiente del termine di grado
massimo uguale a 1, tale che P(0) = 0, P(1) = 1, P(−1) = 2.
chi mi può dare una mano?? grazie
massimo uguale a 1, tale che P(0) = 0, P(1) = 1, P(−1) = 2.
chi mi può dare una mano?? grazie
Risposte
Il polinomio deve avere grado $<=3$, in un polinomio di terzo grado ci sono 4 parametri e tu hai 4 condizioni, ma potrebbe essere che due di esse diano la stessa equazione.
Dato il polinomio $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, dalle condizioni poste ricavi
$\{(a = 1),(P(0)=0 => d=0),(P(1)=1=>a+b+c+d=1),(P(-1)=2=>-a+b-c+d=2):}$
Adesso basta risolvere il sistema che è comunque immediato
Provando con polinomi di grado più basso il sistema viene impossibile.
Dato il polinomio $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, dalle condizioni poste ricavi
$\{(a = 1),(P(0)=0 => d=0),(P(1)=1=>a+b+c+d=1),(P(-1)=2=>-a+b-c+d=2):}$
Adesso basta risolvere il sistema che è comunque immediato
Provando con polinomi di grado più basso il sistema viene impossibile.
Ti do due suggerimenti.
Il fatto che $p(0)=0$ ti dice che il termine noto vale $0$
Infatti sei hai un polinomio lungo quanto vuoi
$p(x)=ax^n+bx^(n-1)...+k$
tu capisci che se sostituisco $0$ a $x$ ottieni al primo membro $p(0)$ e al secondo membro il termine noto $k$ perchè gli altri termini aventi $x$ si sono annullati, per cui
$p(0)=0=k$
Iniziamo a provare con un polinomio di primo grado.
Questo polinomio deve essere per forza
$p(x)=x$ visto che il termine noto non c'è, e il coefficiente del termine di grado massimo (cioè $x$) è $1$
Questo polinomio non soddisfa le condizioni, visto che sostituendo $-1$ a $x$ ottieni
$p(-1)=-1$ invece che $2$.
Proviamo con il secondo grado
Deve essere del tipo
$p(x)=x^2+bx$ con $b$ da determinare.
Ponendo $p(1)=1$ hai
$p(1)=1+b$ quindi deve essere $b+1=1$ ovvero $b=0$
e ponendo $p(-1)=2$ abbiamo invece
$p(-1)=1-b$ quindi deve essere $1-b=2$ cioè $b=-1$
Nessuno dei due valori soddisfa contemporaneamente le richieste.
Bisogna provare col terzo grado.
Se vai avanti così, la soluzione la trovi molto presto.
Ciao.
Il fatto che $p(0)=0$ ti dice che il termine noto vale $0$
Infatti sei hai un polinomio lungo quanto vuoi
$p(x)=ax^n+bx^(n-1)...+k$
tu capisci che se sostituisco $0$ a $x$ ottieni al primo membro $p(0)$ e al secondo membro il termine noto $k$ perchè gli altri termini aventi $x$ si sono annullati, per cui
$p(0)=0=k$
Iniziamo a provare con un polinomio di primo grado.
Questo polinomio deve essere per forza
$p(x)=x$ visto che il termine noto non c'è, e il coefficiente del termine di grado massimo (cioè $x$) è $1$
Questo polinomio non soddisfa le condizioni, visto che sostituendo $-1$ a $x$ ottieni
$p(-1)=-1$ invece che $2$.
Proviamo con il secondo grado
Deve essere del tipo
$p(x)=x^2+bx$ con $b$ da determinare.
Ponendo $p(1)=1$ hai
$p(1)=1+b$ quindi deve essere $b+1=1$ ovvero $b=0$
e ponendo $p(-1)=2$ abbiamo invece
$p(-1)=1-b$ quindi deve essere $1-b=2$ cioè $b=-1$
Nessuno dei due valori soddisfa contemporaneamente le richieste.
Bisogna provare col terzo grado.
Se vai avanti così, la soluzione la trovi molto presto.
Ciao.
molto chiari..grazie ad entrambi..mi sorge solo un dubbio..amelia volevo chiederti come fai a dire che il polinomio è minore uguale a tre a priori??
"cntrone":
molto chiari..grazie ad entrambi..mi sorge solo un dubbio..amelia volevo chiederti come fai a dire che il polinomio è minore uguale a tre a priori??
Il problema ti dà $4$ informazioni con cui impostare un sistema di $4$ equazioni, ovvero quello mostrato da amelia.
Un polinomio di terzo grado ha appunto $4$ termini (i tre con la $x$ più il termine noto), se il polinomio cercato avesse più di 4 termini (ovvero grado superiore al terzo), ti servirebbero più informazioni da parte del problema.
Aspetta conferma anche da amelia, semmai.
Ciao!
credo che hai proprio ragione..grazie..ciao!!
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