Poligoni inscritti e circoscritti
Ciao a tutti, avrei bisogno del vostro aiuto...la nostra prof di mate vuole che troviamo la formula del lato di un poligono regolare inscritto e circoscritto di n lati...ho provato in tutti i modi, ma niente da fare, non ci riesco.sapete aiutarmi? mi occorrerebbe anche la relativa dimostrazione, se possibile... grazie in anticipo!
baci,
Will
baci,
Will
Risposte
ci provo, vediamo cosa riesco a fare...
Poligono inscritto:
io avrei fatto così: prendi una circonferenza qualunque di raggio r e inscrivici un poligono regolare di n lati. poi collega gli estremi del lato AB con il centro O. ottieni un triangolo isoscele OAB (è isoscele perchè OA ed OB sono congruenti ed uguali al raggio). poi collega il centro con il punto mebio M di AB. il segmento OM cade perpendicolare su AB perchè AOB è un triangolo isoscele. quindi il triangolo AOM è un triangolo rettangolo. l'angolo AOB è uguale a 360°/n (dove n è il numero dei lati del poligono). ma il segmento OM è anche bisettrice dell'angolo AOB (sempre perchè AOB è un triangolo isoscele). quindi l'angolo AOM è uguale all'(angolo AOB)/2 e quindi a 360°/2n = 180°/n. asto punto del triangolo rettangolo AOM conosciamo tutto ciò che ci serve per trovare il lato AM. infatti AM= r*sen(180/n) e quindi AB, che è il lato del poligono inscritto sarà il doppio di AM (avevamo detto che M è il punto medio). quindi per rispondere alla prima parte della domanda, ovvero il lato del poligono inscritto: AB=2r*sen(180/n). facendo qualche considerazione, notiamo che se n fosse 0, la scrittura no avrebbe senso, se n fosse infinito, 180/n tenderebbe a 0 e sen 0 = 0 e quindi AB = 0, infatti se n tende all'infinito, il poligono diventa una circonferenza e gli infiniti lati misurano 0.
Poligono circoscritto:
Il discorso è analogo. prendiamo una circonferenza di centro O e raggio r, prendiamo un qualunque poligono circoscritto regolare di lato AB. congiungiamo il centro O con il punto di tangenza M di AB sulla circonferenza (la cui esistenza è garantita dal fatto che per ipotesi abbiamo che il poligono deve essere circoscritto e come tale, coi lati tangenti. il segmento OM cade perpendicolare su AB perchè lo dice un teorema sulle tangenti ad una circonferenza. si può dimostrare facilemnte con pochissim ipassaggi di geometria euclidea che M è anche il punto medio di AB e che AOB è isoscele. ne segue che sono validi tutti i discorsi fatti anche per il poligono inscritto, ovvero che OM è bisettrice di AOB, mediana di AB e altezza di AB. quindi analogamente a prima, considerando il triangolo rettangolo AOM, possiamo dire che AM = r*tg(180/n) e che quindi AB è 2r*tg(180/n). Anche in questo caso valgono le stesse considerazioni fatte in precedenza, per 0 lati, abbiamo un 0 al denominatore, per infiniti lati, abbiamo AB=0, che ancora una volta spiega l'approssimarsi del poligono alla circonferenza.
siccome mi torna tutto, dovrebbero essere giuste. poi magari ho fatto qualche errore grossolano che qualcuno provvederà a correggere
:D
Poligono inscritto:
io avrei fatto così: prendi una circonferenza qualunque di raggio r e inscrivici un poligono regolare di n lati. poi collega gli estremi del lato AB con il centro O. ottieni un triangolo isoscele OAB (è isoscele perchè OA ed OB sono congruenti ed uguali al raggio). poi collega il centro con il punto mebio M di AB. il segmento OM cade perpendicolare su AB perchè AOB è un triangolo isoscele. quindi il triangolo AOM è un triangolo rettangolo. l'angolo AOB è uguale a 360°/n (dove n è il numero dei lati del poligono). ma il segmento OM è anche bisettrice dell'angolo AOB (sempre perchè AOB è un triangolo isoscele). quindi l'angolo AOM è uguale all'(angolo AOB)/2 e quindi a 360°/2n = 180°/n. asto punto del triangolo rettangolo AOM conosciamo tutto ciò che ci serve per trovare il lato AM. infatti AM= r*sen(180/n) e quindi AB, che è il lato del poligono inscritto sarà il doppio di AM (avevamo detto che M è il punto medio). quindi per rispondere alla prima parte della domanda, ovvero il lato del poligono inscritto: AB=2r*sen(180/n). facendo qualche considerazione, notiamo che se n fosse 0, la scrittura no avrebbe senso, se n fosse infinito, 180/n tenderebbe a 0 e sen 0 = 0 e quindi AB = 0, infatti se n tende all'infinito, il poligono diventa una circonferenza e gli infiniti lati misurano 0.
Poligono circoscritto:
Il discorso è analogo. prendiamo una circonferenza di centro O e raggio r, prendiamo un qualunque poligono circoscritto regolare di lato AB. congiungiamo il centro O con il punto di tangenza M di AB sulla circonferenza (la cui esistenza è garantita dal fatto che per ipotesi abbiamo che il poligono deve essere circoscritto e come tale, coi lati tangenti. il segmento OM cade perpendicolare su AB perchè lo dice un teorema sulle tangenti ad una circonferenza. si può dimostrare facilemnte con pochissim ipassaggi di geometria euclidea che M è anche il punto medio di AB e che AOB è isoscele. ne segue che sono validi tutti i discorsi fatti anche per il poligono inscritto, ovvero che OM è bisettrice di AOB, mediana di AB e altezza di AB. quindi analogamente a prima, considerando il triangolo rettangolo AOM, possiamo dire che AM = r*tg(180/n) e che quindi AB è 2r*tg(180/n). Anche in questo caso valgono le stesse considerazioni fatte in precedenza, per 0 lati, abbiamo un 0 al denominatore, per infiniti lati, abbiamo AB=0, che ancora una volta spiega l'approssimarsi del poligono alla circonferenza.
siccome mi torna tutto, dovrebbero essere giuste. poi magari ho fatto qualche errore grossolano che qualcuno provvederà a correggere
:D
grazie tantissime!!!!!!
prego figurati
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