Poi non vi scoccio più :-)))))))))))
Ciao nuovamente a tutti...
come avrete capito dal mio precedente topic sono rimasto indietro con i compiti di geometria e siccome è passato molto tempo dal lontano giugno, beh, chi si ricorda più qualcosa!!!
Tra circonferenze, similitudini, poligono inscritti, circoscritti... bohhhhhh!!!!
)))))
i problemi che non riesco a risolvere sono:
a)
In una semicirconferenza di diametro AB=10 cm sia OC il raggio perpendicolare al diametro; determina sulla semicirconferenza un punto M tale che, dette H e K le sue proiezioni su AB e OC, si abbia 2AM^2 = 15MK^2. Trova AH
b)
Determina sopra un arco AB, quarta parte di una circonferenza di centro O e raggio 8 cm, un punto P tale che, detta C la proiezione di P su OB, sia aAP + 8PC = 72cm. Trova PC.
c)
Sul prolungamento del diametro AB=2r di una semicirconferenza di centro O prendi un punto P dalla parte di B in modo che, conducendo per esso la tangente PC alla semicirconferenza e da C la perpendicolare DC al diametro, si abbia PC=CD+DB. Trova OP.
GRAZIE
P.S.: poi avrò finito i compiti e prometto di lasciarvi in pace per un po', del resto, se di bravi e tempestivi come voi non c'è nessuno che colpa ne ho io????))))
come avrete capito dal mio precedente topic sono rimasto indietro con i compiti di geometria e siccome è passato molto tempo dal lontano giugno, beh, chi si ricorda più qualcosa!!!
Tra circonferenze, similitudini, poligono inscritti, circoscritti... bohhhhhh!!!!
)))))i problemi che non riesco a risolvere sono:
a)
In una semicirconferenza di diametro AB=10 cm sia OC il raggio perpendicolare al diametro; determina sulla semicirconferenza un punto M tale che, dette H e K le sue proiezioni su AB e OC, si abbia 2AM^2 = 15MK^2. Trova AH
b)
Determina sopra un arco AB, quarta parte di una circonferenza di centro O e raggio 8 cm, un punto P tale che, detta C la proiezione di P su OB, sia aAP + 8PC = 72cm. Trova PC.
c)
Sul prolungamento del diametro AB=2r di una semicirconferenza di centro O prendi un punto P dalla parte di B in modo che, conducendo per esso la tangente PC alla semicirconferenza e da C la perpendicolare DC al diametro, si abbia PC=CD+DB. Trova OP.
GRAZIE
P.S.: poi avrò finito i compiti e prometto di lasciarvi in pace per un po', del resto, se di bravi e tempestivi come voi non c'è nessuno che colpa ne ho io????
))))
Risposte
c) Prima di tutto fatti un bel disegno...
Assumendo come incognita l'angolo POC (che d'ora in poi chiamerò x,
con 0° < x < 90°) si hanno le seguenti relazioni (basta usare le regole
di trigonometria sui triangoli rettangoli):
CD = r*sin(x); OD = r*cos(x) da cui DB = r - r*cos(x) = r*(1 - cos(x)); PC = r*tg(x)
Il problema chiede che sia PC = CD + DB ... Usando le relazioni trovate
si perviene alla seguente equazione goniometrica:
r*tg(x) = r*sin(x) + r*(1 - cos(x))
ed eliminando r da tutti i membri essa diventa:
tg(x) = sin(x) - cos(x) + 1
Risolvendola si trova che l'unica soluzione compresa tra 0° e 90° è x = 45°.
Dunque PC = r*tg(45°) = r*1 = r, quindi uguale al raggio della semicirconferenza.
Con Pitagora troviamo che OP = r*sqrt(2)
sqrt = radice quadrata
Agli altri problemi penserà qualcun altro...
Assumendo come incognita l'angolo POC (che d'ora in poi chiamerò x,
con 0° < x < 90°) si hanno le seguenti relazioni (basta usare le regole
di trigonometria sui triangoli rettangoli):
CD = r*sin(x); OD = r*cos(x) da cui DB = r - r*cos(x) = r*(1 - cos(x)); PC = r*tg(x)
Il problema chiede che sia PC = CD + DB ... Usando le relazioni trovate
si perviene alla seguente equazione goniometrica:
r*tg(x) = r*sin(x) + r*(1 - cos(x))
ed eliminando r da tutti i membri essa diventa:
tg(x) = sin(x) - cos(x) + 1
Risolvendola si trova che l'unica soluzione compresa tra 0° e 90° è x = 45°.
Dunque PC = r*tg(45°) = r*1 = r, quindi uguale al raggio della semicirconferenza.
Con Pitagora troviamo che OP = r*sqrt(2)
sqrt = radice quadrata
Agli altri problemi penserà qualcun altro...
a) supponi che H sitrovi tra O e B. L'altra situazione la fai allo stesso modo. In tal caso chiami OH=x=MK; allora trovi facilmente MH con Pitagora, in funzione solo di x (il raggio e' noto!), usando OM ed OH come ipotenusa e cateto. E' facile poi trovare AM anch'esso solo in funzione di x sempre con Pitagora, usando i cateti AH e MH. Imposta quindi la relazione data per ipotesi per trovare x.
b)chiama PC=x; allora e' anche qui facile usando due volte Pitagore, trovare AP in funzione di x. Infatti trovi OC con Pitagore usando OP come ipotenusa e PC come cateto. Allora trovi AP usando Pitagore con OC come primo cateto e OA-PC come secondo cateto. La relazione data ti permette di trovare x.
Luca.
b)chiama PC=x; allora e' anche qui facile usando due volte Pitagore, trovare AP in funzione di x. Infatti trovi OC con Pitagore usando OP come ipotenusa e PC come cateto. Allora trovi AP usando Pitagore con OC come primo cateto e OA-PC come secondo cateto. La relazione data ti permette di trovare x.
Luca.
Grazie a tutti e ciao.
P.S.: ma il problema c, senza trigonometria come si risolve????
P.S.: ma il problema c, senza trigonometria come si risolve????
Bella domanda; in effetti non so se la conosci. Comunque, chiama BP=x; allora trovi PC in funzione di x con Pitagora: ipotenusa OP e cateto OC. Trovi poi CD come altezza relativa all'ipotenusa e DB come differenza tra il raggio e OD, proiezione di OC su OB. Metti tutto nella relazione data e trovi x, e poi trovi OP.
Luca.
Luca.
Sono senza parole...
risolvere un problema, per quanto facile sia, con strumenti complessi è senza dubbi sicuramente meno geniale che usare banalità!!!!!!
GRAZIE
risolvere un problema, per quanto facile sia, con strumenti complessi è senza dubbi sicuramente meno geniale che usare banalità!!!!!!
GRAZIE
La soluzione trigonometrica e' piu' agevole.
Comunque ecco anche quella algebrica.
Posto OP=x>r, dal triangolo rettangolo OCP,
per il 1° teorema di Euclide, si ha:
OD:OC=OC:OP--->OD=r^2/x.
Quindi: DB=OB-OD=r-r^2/x=r(x-r)/x
Sempre dal triangolo rettangolo OCP:
CP=sqrt(OP^2-OC^2)=sqrt(x^2-r^2)
E da OCD:
CD =sqrt(OC^2-OD^2)=sqrt(r^2-r^4/x^2)=r/x*sqrt(x^2-r^2).
Pertanto deve essere:
sqrt(x^2-r^2)=r/x*sqrt(x^2-r^2)+r(x-r)/x
da cui:
(x-r)/x*[sqrt(x^2-r^2)-r]=0
E spezzando:
x=r [da scartare perche' deve essere x>r]
sqrt(x^2-r^2)=r--->x=r*sqrt(2)>r (accettabile).
Le soluzioni coincidono (ovviamente) con quelle
trovate da fireball.
karl.
Comunque ecco anche quella algebrica.
Posto OP=x>r, dal triangolo rettangolo OCP,
per il 1° teorema di Euclide, si ha:
OD:OC=OC:OP--->OD=r^2/x.
Quindi: DB=OB-OD=r-r^2/x=r(x-r)/x
Sempre dal triangolo rettangolo OCP:
CP=sqrt(OP^2-OC^2)=sqrt(x^2-r^2)
E da OCD:
CD =sqrt(OC^2-OD^2)=sqrt(r^2-r^4/x^2)=r/x*sqrt(x^2-r^2).
Pertanto deve essere:
sqrt(x^2-r^2)=r/x*sqrt(x^2-r^2)+r(x-r)/x
da cui:
(x-r)/x*[sqrt(x^2-r^2)-r]=0
E spezzando:
x=r [da scartare perche' deve essere x>r]
sqrt(x^2-r^2)=r--->x=r*sqrt(2)>r (accettabile).
Le soluzioni coincidono (ovviamente) con quelle
trovate da fireball.
karl.
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