Piu di 1 valore assoluto presenti
buongiorno, volevo sapere che cosa bisogna fare nel caso io mi trovassi una funzione così:
$(|x|+2+x^3-|x+2|)/(6+|x+2|)$
praticamente io ho 3 valori assoluti quindi se dovessi fare uno studio di funzione, io proverei a farlo nel modo che fra poco vi dico ma purtroppo non so se è giusto:
Insieme di definizione
$(6+x+2)!=0$
$6-x-2!=0$
viene $(-oo;-8)V(-8;4)V(4;+oo)$
Studio del segno
a)caso con segno +
$(x+2+x^3-x+2)/(6+x+2)$
b)caso con segno -
$(-x+2+x^3+x-2)/(6-x-2)$
mi fermo qui non procedo oltre a fare il resto, perchè piu che altro dovevo chiedere questo:va bene come ho fatto sopra?
Non dovrei tenere conto anche di altri casi per esempio che il numeratore sia tutto positico e il denominatore negativo del tipo:
$(x+2+x^3-x+2)/(6-x-2)$
e poi anche fare il primo valore assoluto del numeratore positivo e il secondo negativo?
$(|x|+2+x^3-|x+2|)/(6+|x+2|)$
praticamente io ho 3 valori assoluti quindi se dovessi fare uno studio di funzione, io proverei a farlo nel modo che fra poco vi dico ma purtroppo non so se è giusto:
Insieme di definizione
$(6+x+2)!=0$
$6-x-2!=0$
viene $(-oo;-8)V(-8;4)V(4;+oo)$
Studio del segno
a)caso con segno +
$(x+2+x^3-x+2)/(6+x+2)$
b)caso con segno -
$(-x+2+x^3+x-2)/(6-x-2)$
mi fermo qui non procedo oltre a fare il resto, perchè piu che altro dovevo chiedere questo:va bene come ho fatto sopra?
Non dovrei tenere conto anche di altri casi per esempio che il numeratore sia tutto positico e il denominatore negativo del tipo:
$(x+2+x^3-x+2)/(6-x-2)$
e poi anche fare il primo valore assoluto del numeratore positivo e il secondo negativo?
Risposte
$|x|:$ l'argomento è positivo per $x\geq 0$.
$|x+2|$: l'argomento è positivo per $x\geq -2$
Allora avremo 3 casi:
caso 1: $x< -2 \Rightarrow |x|=-x, |x+2|=-(x+2)$
caso 2: $-2\leq x< 0 \Rightarrow |x|=-x, |x+2|=x+2$
caso 3: $x\geq 0 \Rightarrow |x|=x, |x+2|=x+2$
Paola
$|x+2|$: l'argomento è positivo per $x\geq -2$
Allora avremo 3 casi:
caso 1: $x< -2 \Rightarrow |x|=-x, |x+2|=-(x+2)$
caso 2: $-2\leq x< 0 \Rightarrow |x|=-x, |x+2|=x+2$
caso 3: $x\geq 0 \Rightarrow |x|=x, |x+2|=x+2$
Paola
Per l'insieme di definizione deve essere $6+|x+2|!=0$. Questo accade per ogni $x$, perché $6+|x+2|$ è la somma di due grandezze, di cui la prima ($6$) è $>0$ e la seconda ($|x+2|$) è $>=0$.
sinceramente non ho capito come avete fatto, cioè avrei 2 domande:
1)per l'insieme di definizione di quella funzione, non dovrei comunque fare i 2 casi che ho scritto nel messaggio di pima?
2)Per lo stdio del segno non ho capito il motivo dei 3 casi, cioè non ho afferrato il ragionamento, io sono abituato per esempio a distinguere i 2 casi CON SEGNO + e CON SEGNO -. Cioè faccio un esempio piu facile per farvi capire come sono abituato a fare per esempio in uno studio del segno:
$|2x+1/2|$
caso con segno +
$x> -1/4$
caso con segno -
$x<-1/4$
bo, va be per favore comunque mi potete rispegare con parole piu semplici come si fa nel caso scritto sopra con i 3 valori assoluti?scusate per il disturbo però non ci so fare molto con queste cose.
1)per l'insieme di definizione di quella funzione, non dovrei comunque fare i 2 casi che ho scritto nel messaggio di pima?
2)Per lo stdio del segno non ho capito il motivo dei 3 casi, cioè non ho afferrato il ragionamento, io sono abituato per esempio a distinguere i 2 casi CON SEGNO + e CON SEGNO -. Cioè faccio un esempio piu facile per farvi capire come sono abituato a fare per esempio in uno studio del segno:
$|2x+1/2|$
caso con segno +
$x> -1/4$
caso con segno -
$x<-1/4$
bo, va be per favore comunque mi potete rispegare con parole piu semplici come si fa nel caso scritto sopra con i 3 valori assoluti?scusate per il disturbo però non ci so fare molto con queste cose.
Secondo me invece che affidarti a "regole" dovresti cercare di chiarirti il significato del valore assoluto 
Quando capisci bene, poi diventa tutto ovvio!
Quando capisci bene, poi diventa tutto ovvio!
Per l'insieme di definizione, chiaraotta ti ha mostrato che quel denominatore non si annulla mai. Se proprio vuoi fare in maniera "classica" (ma in questo caso stupida) dovresti fare così: i valori da escludere saranno
$\{(x\geq -2),(x+2+6=0):} \cup \{(x<-2),(-x-2+6= 0):}\to \{(x\geq -2),(x=-8):} \cup \{(x<-2),(x= 4):}\to \emptyset \cup \emptyset$
ovvero non serve escludere nessun valore.
Per quanto riguarda i 3 casi da me elencati, quando hai più valori assoluti è chiaro che il numero di casi aumenta e non te ne ritroverai solo 2 come al solito. Mi dispiace ma non so spiegarlo più facile di così.
Paola
$\{(x\geq -2),(x+2+6=0):} \cup \{(x<-2),(-x-2+6= 0):}\to \{(x\geq -2),(x=-8):} \cup \{(x<-2),(x= 4):}\to \emptyset \cup \emptyset$
ovvero non serve escludere nessun valore.
Per quanto riguarda i 3 casi da me elencati, quando hai più valori assoluti è chiaro che il numero di casi aumenta e non te ne ritroverai solo 2 come al solito. Mi dispiace ma non so spiegarlo più facile di così.
Paola
scusa ma allora l'insieme di definizione è forse (-oo;-8)V(-8;-2)V(2;4)V(4;oo)?
poi volevo chiedere, per fare una regfola generale potrei a questo punto fare così?
1)prendo tutti i valori assoluti
2)pongo in una prima parentesi graffa il loro contenuto maggiore di 0, e in una seconda parentesi graff il loro contenuto cambiato di segno ponendolo minore di 0.
3)risolvo le parentesi e faccio il grafico normale prendendo le aree in cui sono presenti tutte le linee no?
scusa ancora per il disturbo
poi volevo chiedere, per fare una regfola generale potrei a questo punto fare così?
1)prendo tutti i valori assoluti
2)pongo in una prima parentesi graffa il loro contenuto maggiore di 0, e in una seconda parentesi graff il loro contenuto cambiato di segno ponendolo minore di 0.
3)risolvo le parentesi e faccio il grafico normale prendendo le aree in cui sono presenti tutte le linee no?
scusa ancora per il disturbo
aiuto per fav, potete rispondere al post precedente?grazie a chi vuole rispondere.
ciao scusate risollevo questo topic perchè avrei bisogno di sapere un metodo. Aspetto chi vorrà rispondere.
Grazie
Cordiali saluti
Grazie
Cordiali saluti
Il tuo messaggio del 21 aprile non era chiaro e credo sia per questo che nessuno ti ha risposto. Provo a spiegare il concetto col seguente esempio:
$f(x)=|x|+|x-2|+|x^2-4|$
Per prima cosa devi chiederti quando le grandezze in esame sono positive e chiarirti le idee riportando i risultati in un grafico. Da questo noti che ci sono le seguenti 4 zone:
1) $x<=-2$. Qui i primi due addendi sono negativi e il terzo positivo, quindi $f(x)=-x-(x-2)+(x^2-4)=...$
2) $-2<=x<=0$. Qui è tutto negativo, quindi $f(x)=-x-(x-2)-(x^2-4)=...$
3) $0<=x<=2$. Positivo il primo, negativi gli altri, quindi $f(x)=x-(x-2)-(x^2-4)=...$
4) $x>=2$. Tutto positivo, quindi $f(x)=x+(x-2)+(x^2-4)=...$
Ora studi le funzioni ottenute, ognuna nell'intervallo indicato. Chiedi se ti restano dubbi.
$f(x)=|x|+|x-2|+|x^2-4|$
Per prima cosa devi chiederti quando le grandezze in esame sono positive e chiarirti le idee riportando i risultati in un grafico. Da questo noti che ci sono le seguenti 4 zone:
1) $x<=-2$. Qui i primi due addendi sono negativi e il terzo positivo, quindi $f(x)=-x-(x-2)+(x^2-4)=...$
2) $-2<=x<=0$. Qui è tutto negativo, quindi $f(x)=-x-(x-2)-(x^2-4)=...$
3) $0<=x<=2$. Positivo il primo, negativi gli altri, quindi $f(x)=x-(x-2)-(x^2-4)=...$
4) $x>=2$. Tutto positivo, quindi $f(x)=x+(x-2)+(x^2-4)=...$
Ora studi le funzioni ottenute, ognuna nell'intervallo indicato. Chiedi se ti restano dubbi.
Ciao, grazie per la risposta, scusa ma dovrei fare qualche domanda: allora se mi chiedo quando i valori dentro il valore assoluto sono positivi, io metterei anche $x>0$
e poi non ho capito come fa a esserci $x=<-2$, cioè se prendo il secondo valore assoluto $|x-2|$; vuol dire che puo essere sia
$x-2$ che $|-x+2|$, nell'ultimo caso io scriverei $-x> -2$ che diventa $x<2$.
Nel terzo, essendoci $x^2-4>0$, la $x$ puo essere sia minore di $-2$ che maggiore di $2$
QUindi a dire il vero non capisco i risultati.
Cioè io ho capito che devo prenderne uno a uno di valori assolutti, poi fare il'' caso positivo'' ovvero lasciandoli cosi e il ''caso negativo'' cambiandoli di segno.
Una volta fatti devo fare l'interesezione fra questi 2 valori?
Cordiali saluti
e poi non ho capito come fa a esserci $x=<-2$, cioè se prendo il secondo valore assoluto $|x-2|$; vuol dire che puo essere sia
$x-2$ che $|-x+2|$, nell'ultimo caso io scriverei $-x> -2$ che diventa $x<2$.
Nel terzo, essendoci $x^2-4>0$, la $x$ puo essere sia minore di $-2$ che maggiore di $2$
QUindi a dire il vero non capisco i risultati.
Cioè io ho capito che devo prenderne uno a uno di valori assolutti, poi fare il'' caso positivo'' ovvero lasciandoli cosi e il ''caso negativo'' cambiandoli di segno.
Una volta fatti devo fare l'interesezione fra questi 2 valori?
Cordiali saluti
Devi risolvere le seguenti disequazioni:
$x>=0$ che è già risolta;
$x-2>=0->x>=2$
$x^2-4>=0->x<= -2 vv x>=2$
e riportarle in uno stesso grafico, in cui vedi che ci sono le zone che ho citato. A questo punto non fai l'intersezione né altro: il grafico ti serve solo per vedere che zone ci sono e quale è il segno del corrispondente addendo. Se c'è una linea continua l'addendo è positivo e quindi uguale al suo valore assoluto; se invece la linea è discontinua è negativo e per averne il valore assoluto devi cambiarlo di segno.
$x>=0$ che è già risolta;
$x-2>=0->x>=2$
$x^2-4>=0->x<= -2 vv x>=2$
e riportarle in uno stesso grafico, in cui vedi che ci sono le zone che ho citato. A questo punto non fai l'intersezione né altro: il grafico ti serve solo per vedere che zone ci sono e quale è il segno del corrispondente addendo. Se c'è una linea continua l'addendo è positivo e quindi uguale al suo valore assoluto; se invece la linea è discontinua è negativo e per averne il valore assoluto devi cambiarlo di segno.
ok, allora il grafico è quello del link, ma quindi l'insieme di def sarebbe (-oo;-2)V(2;+oo)?oppure solo (2;+oo)http://tinypic.com/view.php?pic=4jl3fd&s=6
e poi comunque volevo sapere cosa si fa quando devo fare lo studio del segno, cioè dovrò fare i 2 casi
caso con segno -
cambio tutti i segni e pongo maggiore di 0
caso con segno +
lascio i segni come sono e pongo maggiore di 0
e poi comunque volevo sapere cosa si fa quando devo fare lo studio del segno, cioè dovrò fare i 2 casi
caso con segno -
cambio tutti i segni e pongo maggiore di 0
caso con segno +
lascio i segni come sono e pongo maggiore di 0
Nella tua funzione iniziale non c'era il caposaldo 2 quindi suppongo che tu ti stia riferendo al mio ultimo esempio; ti rispondo pensando a quello. Nella funzione data non c'erano frazioni né radici né altro che possa limitare il C.E. che quindi è (-oo, +oo); ora vediamo le cose più in dettaglio. Abbiamo distinto 4 zone quindi dobbiamo studiare 4 funzioni, ognuna nell'intervallo indicato; a titolo di esempio faccio veramente i calcoli per la prima di esse (qui copio solo la loro impostazione e i risultati); come esercizio puoi completare il grafico studiando le altre 3.
Caso $x<=-2$
Completando i calcoli là dove avevo messo i puntini ottieni che devi disegnare il grafico di $y=x^2-2x-2$; se vuoi puoi scomodare l'analisi ma fai molto più in fretta a notare che si tratta di una parabola di vertice V(1,-3). L'ascissa del vertice non rientra nell'intervallo che stiamo considerando quindi il vertice non ci interessa veramente; conviene però segnarlo con lieve tratto di matita perché è un buon aiuto per il disegno. Ci interessa invece il comportamento agli estremi del Campo di Studio, cioè in -oo e -2. Per il -oo c'è poco da dire: la parabola va all'infinito e non ha asintoti; per il -2, notiamo che la parabola passa per il punto A(-2,6). Osservando il disegno finora fatto notiamo che le intersezioni con gli assi cartesiani escono dall'intervallo in esame e che quindi cercarle sarebbe solo una perdita di tempo; devi però farlo quando vedi che rientrano nell'intervallo e se ti piace puoi farlo comunque. A questo punto ti conviene disegnare a tratto leggero l'intera parabola ricalcandone poi la parte che ci interessa e cioè l'arco di parabola che scende dall'infinito fino ad A.
Riepilogo il comportamento che devi tenere, ampliando l'esempio anche a casi più complicati:
1) Trovi le varie zone e, in ciascuna di esse, la relativa funzione nel modo visto in precedenza. Puoi controllare di averlo capito usandolo per la funzione che hai postato all'inizio; ti dirò se il risultato è giusto.
2) In ogni zona trovata studi la corrispondente funzione. Devi sempre studiare il comportamento agli estremi del campo di studio (cioè gli estremi della zona) e la crescenza-decrescenza dell funzioni mentre le altre parti dello studio di funzione possono essere tralasciate se vistosamente inutili: ad esempio se la zona non arriva all'infinito non studiamo il comportamento all'infinito; se la zona non comprende $x=0$ non cerchiamo le intersezioni con l'asse y, eccetera. A volte, come nella parabola dell'esempio, è comodo disegnare a tratto leggero l'andamento della funzione anche fuori del suo C.S., ricalcandone poi il tratto che ci interessa; in genere lo si fa solo se i calcoli relativi sono abbastanza brevi.
Non capisco la tua ultima domanda e ti prego di farmi qualche esempio
Caso $x<=-2$
Completando i calcoli là dove avevo messo i puntini ottieni che devi disegnare il grafico di $y=x^2-2x-2$; se vuoi puoi scomodare l'analisi ma fai molto più in fretta a notare che si tratta di una parabola di vertice V(1,-3). L'ascissa del vertice non rientra nell'intervallo che stiamo considerando quindi il vertice non ci interessa veramente; conviene però segnarlo con lieve tratto di matita perché è un buon aiuto per il disegno. Ci interessa invece il comportamento agli estremi del Campo di Studio, cioè in -oo e -2. Per il -oo c'è poco da dire: la parabola va all'infinito e non ha asintoti; per il -2, notiamo che la parabola passa per il punto A(-2,6). Osservando il disegno finora fatto notiamo che le intersezioni con gli assi cartesiani escono dall'intervallo in esame e che quindi cercarle sarebbe solo una perdita di tempo; devi però farlo quando vedi che rientrano nell'intervallo e se ti piace puoi farlo comunque. A questo punto ti conviene disegnare a tratto leggero l'intera parabola ricalcandone poi la parte che ci interessa e cioè l'arco di parabola che scende dall'infinito fino ad A.
Riepilogo il comportamento che devi tenere, ampliando l'esempio anche a casi più complicati:
1) Trovi le varie zone e, in ciascuna di esse, la relativa funzione nel modo visto in precedenza. Puoi controllare di averlo capito usandolo per la funzione che hai postato all'inizio; ti dirò se il risultato è giusto.
2) In ogni zona trovata studi la corrispondente funzione. Devi sempre studiare il comportamento agli estremi del campo di studio (cioè gli estremi della zona) e la crescenza-decrescenza dell funzioni mentre le altre parti dello studio di funzione possono essere tralasciate se vistosamente inutili: ad esempio se la zona non arriva all'infinito non studiamo il comportamento all'infinito; se la zona non comprende $x=0$ non cerchiamo le intersezioni con l'asse y, eccetera. A volte, come nella parabola dell'esempio, è comodo disegnare a tratto leggero l'andamento della funzione anche fuori del suo C.S., ricalcandone poi il tratto che ci interessa; in genere lo si fa solo se i calcoli relativi sono abbastanza brevi.
Non capisco la tua ultima domanda e ti prego di farmi qualche esempio
allora, per qst cosa mi ci vorrà un po di tempo, al massimo riprenderò l'argomento fra un po mentre faccio le prove, ora non riesco perchè mi serve qalche giorno, comunque il grafico che avevo fatto l'avevo fatto per la tua funzione, infatti ci sono 4 zone, poi però devo riguardare quello che mi hai detto dopo, intanto grazie.
Cordiali saluti
Cordiali saluti
allora ora ho fatto il grafico per la funzione $(|x|+2+x^3-|x+2|)/(6+|X+2|)$
trovo 3 risultati
$X>=0$
$x>=2$
$x>=2$
e le 3 zone sono:
(-oo;-2)//(-2;0)//(0;+oo)
la funzione la riscrivo in 3 modi diversi:
1)$(-x+2+x^3-(x+2)/(6-(x+2))$
2)$(-x+2+x^3-(x+2))/(6+(x+2))$
3)$((x)+2+x^3-(x+2))/(6+(x+2))$
l'insieme di definizone per la prima è $x!=4$, la seconda $x!=8$, $x!=8$
poi non so se devo fare l'intersezione fra questi risultati che verrebbe (-oo;4)V(4;8)V(8;+oo)
Per continuare lo studio di funzioni dovrei fare lo studio del segno di tutte 3, che va be non lo sto a scrivere perchè tanto basta porre $>=0$, ma poi non ho capito che cosa devo farmene di 3 studi del segno di 3 funzioni diverse.
Per quanto concerne la crescenza, in questo caso devo fare la derivata di tutte e poi un altro studio del segno, e anche qui troverei 3 studi del segno diversi, ma poi non so mai se devo fare intersezione o se devo fare qualcos'altro.
Per quanto concerne la mia ultima domanda del messaggio di prima, cioè quando dicevo ''caso + e caso -'', evidentemente io ho ricevuto delle spiegazioni che non seguono il tuo schema per risolvere uno studio di funzioni, perchè anche quando nel tuo ultimo messaggio parlavi di disegnare la curva e trovare il vertice, praticamente per ''lo schema'' che devo seguire io per risolvere un esame non cè un passaggio del genere, per intenderci il mio programma e il mio esame presentano questo:
per prima cosa ti danno la funzione poi:
1)insieme di definizione
2)studio del segno
3)limiti
4)studio del segno e derivata prima
5)derivata seconda
6)studio del segno (concavità)
Comunque sia quando io parlavo di caso + e caso - intendevo dire questo
ESEMPIO:
$f(x):|x|+1/2$
allora faccio prima il''caso +''
$x+1/2$
ora il caso -
$-x+1/2$
poi faccio l'insieme di definizione di uno e dell'altro e l'intersezione, poi lo studio del segno di ambedue e l'intersezione e via.
In questo caso però ho solo un valore assoluto quindi la cosa si puo fare cosi evidentemente. Ho aperto apposta il mesaggio avente per titolo: piu di un valore assoluto appunto per capire come si facesse quando ci si ritrovasse di fronte a una lungaggine con 3 valori assoluti.
Aspetto le tue correzioni, per quanto concerne il grafico che dicevi di fare tu ti dovrò fare qualche domanda, ma non ora, piu avanti perchè evidentemente è un qualcosa fuori dal mio programma.
Ti ringrazio nel frattempo.
trovo 3 risultati
$X>=0$
$x>=2$
$x>=2$
e le 3 zone sono:
(-oo;-2)//(-2;0)//(0;+oo)
la funzione la riscrivo in 3 modi diversi:
1)$(-x+2+x^3-(x+2)/(6-(x+2))$
2)$(-x+2+x^3-(x+2))/(6+(x+2))$
3)$((x)+2+x^3-(x+2))/(6+(x+2))$
l'insieme di definizone per la prima è $x!=4$, la seconda $x!=8$, $x!=8$
poi non so se devo fare l'intersezione fra questi risultati che verrebbe (-oo;4)V(4;8)V(8;+oo)
Per continuare lo studio di funzioni dovrei fare lo studio del segno di tutte 3, che va be non lo sto a scrivere perchè tanto basta porre $>=0$, ma poi non ho capito che cosa devo farmene di 3 studi del segno di 3 funzioni diverse.
Per quanto concerne la crescenza, in questo caso devo fare la derivata di tutte e poi un altro studio del segno, e anche qui troverei 3 studi del segno diversi, ma poi non so mai se devo fare intersezione o se devo fare qualcos'altro.
Per quanto concerne la mia ultima domanda del messaggio di prima, cioè quando dicevo ''caso + e caso -'', evidentemente io ho ricevuto delle spiegazioni che non seguono il tuo schema per risolvere uno studio di funzioni, perchè anche quando nel tuo ultimo messaggio parlavi di disegnare la curva e trovare il vertice, praticamente per ''lo schema'' che devo seguire io per risolvere un esame non cè un passaggio del genere, per intenderci il mio programma e il mio esame presentano questo:
per prima cosa ti danno la funzione poi:
1)insieme di definizione
2)studio del segno
3)limiti
4)studio del segno e derivata prima
5)derivata seconda
6)studio del segno (concavità)
Comunque sia quando io parlavo di caso + e caso - intendevo dire questo
ESEMPIO:
$f(x):|x|+1/2$
allora faccio prima il''caso +''
$x+1/2$
ora il caso -
$-x+1/2$
poi faccio l'insieme di definizione di uno e dell'altro e l'intersezione, poi lo studio del segno di ambedue e l'intersezione e via.
In questo caso però ho solo un valore assoluto quindi la cosa si puo fare cosi evidentemente. Ho aperto apposta il mesaggio avente per titolo: piu di un valore assoluto appunto per capire come si facesse quando ci si ritrovasse di fronte a una lungaggine con 3 valori assoluti.
Aspetto le tue correzioni, per quanto concerne il grafico che dicevi di fare tu ti dovrò fare qualche domanda, ma non ora, piu avanti perchè evidentemente è un qualcosa fuori dal mio programma.
Ti ringrazio nel frattempo.
Cominciamo con alcune precisazioni:
1) Nella tua funzione non ci sono 3 valori assoluti ma solo 2, uno dei quali è ripetuto due volte: la $x+2>=0$ va calcolata una volta sola e comunque la sua soluzione è $x>=-2$ e non quella che dici.
2) Si fa lo studio di funzione quando è necessario per saperne l'andamento (e allora va benissimo seguire lo schema che hai) ma non lo si fa quando sai disegnare la curva perché riconosci una di quelle che hai studiato in analitica; nel mio esempio avevo scelto delle parabole proprio per poter pensare ai valori assoluti senza perdere tempo in studi di funzione.
3) Non basta distinguere fra i casi + e -: bisogna anche scrivere quando vale l'uno o l'altro. Per esempio, avendo $f(x)=|x|+3$ devi scrivere
caso $x>=0: f(x)=x+3$
caso $x<=0: f(x)=-x+3$
o simili. In questo esempio poi non fai lo studio di funzione perché riconosci due rette e sai disegnarle.
Passiamo ora alla tua funzione; occhio ai segni perché non tutti quelli che hai scritto sono giusti. Abbiamo visto che bisogna distinguere 3 zone, quindi scriveremo
caso $x<=-2: f(x)=(-x+2+x^3+x+2)/(6-x-2)=(x^3+4)/(-x+4)$
caso $-2<=x<=0: f(x)=(-x+2+x^3-x-2)/(6+x+2)=(x^3-2x)/(x+8)$
caso $x>=0: f(x)=(x+2+x^3-x-2)/(6+x+2)=(x^3)/(x+8)$
Esaminiamo ora la prima funzione nel C.S. che va da -oo a -2. Il suo C.E. sarebbe $x=\ne 4$ ma questo valore esce dal C.S. e non ci interessa: nella zona di interesse la funzione esiste sempre. Esaminiamo ora il comportamento agli estremi: calcoliamo f(-2) e per il -oo trovi che la funzione tende a -oo e che non ci sono asintoti. Ragionamento simile per la positività: in C.S. la funzione è sempre negativa perché i punti in cui cambierebbe segno ne sono fuori. Passiamo ora alla derivata e qui vengono i guai perché per studiarne il segno dovremmo risolvere un'equazione di terzo grado e Ruffini non funziona. Non mi sembra il caso di affrontare anche questo scoglio e mi limito a dirti come dovresti continuare. Supponiamo di aver trovato che la derivata è positiva fuori dall'intervallo (-5,1); cancellando la parte di grafichetto che non è compresa nel C.S. troviamo che 1 non interessa e concludiamo che la funzione cresce fino ad un massimo (x=-5) e poi decresce fino all'estremo (x=-2). Naturalmente dovremmo calcolare le corrispondenti y ma non lo faccio perché ho usato valori inventati. A questo punto disegnamo quel tratto di curva; in modo analogo ci comportiamo con le altre due funzioni.
Ora hai capito? Puoi verificarlo con un'altra funzione, che però permetta tutti i calcoli; se non la trovi sul libro puoi inventarla tu prendendo un numeratore di secondo grado e un denominatore di primo grado: non ci saranno disequazioni di grado superiore al secondo.
1) Nella tua funzione non ci sono 3 valori assoluti ma solo 2, uno dei quali è ripetuto due volte: la $x+2>=0$ va calcolata una volta sola e comunque la sua soluzione è $x>=-2$ e non quella che dici.
2) Si fa lo studio di funzione quando è necessario per saperne l'andamento (e allora va benissimo seguire lo schema che hai) ma non lo si fa quando sai disegnare la curva perché riconosci una di quelle che hai studiato in analitica; nel mio esempio avevo scelto delle parabole proprio per poter pensare ai valori assoluti senza perdere tempo in studi di funzione.
3) Non basta distinguere fra i casi + e -: bisogna anche scrivere quando vale l'uno o l'altro. Per esempio, avendo $f(x)=|x|+3$ devi scrivere
caso $x>=0: f(x)=x+3$
caso $x<=0: f(x)=-x+3$
o simili. In questo esempio poi non fai lo studio di funzione perché riconosci due rette e sai disegnarle.
Passiamo ora alla tua funzione; occhio ai segni perché non tutti quelli che hai scritto sono giusti. Abbiamo visto che bisogna distinguere 3 zone, quindi scriveremo
caso $x<=-2: f(x)=(-x+2+x^3+x+2)/(6-x-2)=(x^3+4)/(-x+4)$
caso $-2<=x<=0: f(x)=(-x+2+x^3-x-2)/(6+x+2)=(x^3-2x)/(x+8)$
caso $x>=0: f(x)=(x+2+x^3-x-2)/(6+x+2)=(x^3)/(x+8)$
Esaminiamo ora la prima funzione nel C.S. che va da -oo a -2. Il suo C.E. sarebbe $x=\ne 4$ ma questo valore esce dal C.S. e non ci interessa: nella zona di interesse la funzione esiste sempre. Esaminiamo ora il comportamento agli estremi: calcoliamo f(-2) e per il -oo trovi che la funzione tende a -oo e che non ci sono asintoti. Ragionamento simile per la positività: in C.S. la funzione è sempre negativa perché i punti in cui cambierebbe segno ne sono fuori. Passiamo ora alla derivata e qui vengono i guai perché per studiarne il segno dovremmo risolvere un'equazione di terzo grado e Ruffini non funziona. Non mi sembra il caso di affrontare anche questo scoglio e mi limito a dirti come dovresti continuare. Supponiamo di aver trovato che la derivata è positiva fuori dall'intervallo (-5,1); cancellando la parte di grafichetto che non è compresa nel C.S. troviamo che 1 non interessa e concludiamo che la funzione cresce fino ad un massimo (x=-5) e poi decresce fino all'estremo (x=-2). Naturalmente dovremmo calcolare le corrispondenti y ma non lo faccio perché ho usato valori inventati. A questo punto disegnamo quel tratto di curva; in modo analogo ci comportiamo con le altre due funzioni.
Ora hai capito? Puoi verificarlo con un'altra funzione, che però permetta tutti i calcoli; se non la trovi sul libro puoi inventarla tu prendendo un numeratore di secondo grado e un denominatore di primo grado: non ci saranno disequazioni di grado superiore al secondo.
Ciao, allora per ora ho capito una parte di quello che hai scritto perchè man mano che leggo insomma devo ricontrollare un po di cose, comunque per ora va bene perchè sto capendo. Stavo riguardando per esercizio la funzione che mi avevi dato tu, ovvero: $|x|+|x-2|+|x^2-4|$ e stavo facendo il grafico con la parabola, piu che altro non mi torna l'esempio in (-oo;-2] in quanto dici che la parabola passa per (-2;6), praticamente io ho fatto il limite della funzione $-x-x+2+x^2-4$mettendo il $-2$ al posto della $x$ per trovare il punto di intersezione sull'asse x e viene $-2$ e ok. Però anzichè venirmi -6 mi viene $-2$ anche per la $y$ sarà per forza un errore di segno ma non lo trovo-.-
Io ho sostiutuito:
$0-0+2+0-4$ va be comunque per il resto ci sentiamo piu avanti man mano che procedo.
Grazie nel frattempo!
Io ho sostiutuito:
$0-0+2+0-4$ va be comunque per il resto ci sentiamo piu avanti man mano che procedo.
Grazie nel frattempo!
Mi fa piacere che tu stia capendo; insisti perché noto ancora molte idee confuse. Cerchiamo di chiarirne qualcuna.
Nell'intervallo (-00,-2) la funzione è quella che dici e cioè, a calcoli fatti,
$f(x)=x^2-2x-2$
Un estremo del campo è -2 e se vuoi puoi calcolare il limite per x tendente a -2 ma non è necessario perché sta in C.E. e quindi basta calcolare
$f(-2)=4+4-2=6$
Questo è il valore all'estremo del C.S. e non l'intersezione con l'asse x. Ti ho già detto che in questo caso non vale la pena di cercarle perché, ricordando che la curva è una parabola, basta un'occhiata al grafico per dire che nell'intervallo (-oo,-2)non ce ne sono; se però volessi farlo dovresti risolvere l'equazione $x^2-2x-2=0$ e trovi appunto che le due soluzioni non stanno in questo intervallo.
Nell'ultimo calcolo poi hai sostituito 0 ad x, cioè hai calcolato f(0). Questo calcolo dà l'intersezione con l'asse y o meglio la darebbe: nel nostro caso x=0 non è in C.S. quindi quel calcolo è inutile.
Forza! La strada è ancora lunga ma con pazienza ed impegno puoi farcela.
Nell'intervallo (-00,-2) la funzione è quella che dici e cioè, a calcoli fatti,
$f(x)=x^2-2x-2$
Un estremo del campo è -2 e se vuoi puoi calcolare il limite per x tendente a -2 ma non è necessario perché sta in C.E. e quindi basta calcolare
$f(-2)=4+4-2=6$
Questo è il valore all'estremo del C.S. e non l'intersezione con l'asse x. Ti ho già detto che in questo caso non vale la pena di cercarle perché, ricordando che la curva è una parabola, basta un'occhiata al grafico per dire che nell'intervallo (-oo,-2)non ce ne sono; se però volessi farlo dovresti risolvere l'equazione $x^2-2x-2=0$ e trovi appunto che le due soluzioni non stanno in questo intervallo.
Nell'ultimo calcolo poi hai sostituito 0 ad x, cioè hai calcolato f(0). Questo calcolo dà l'intersezione con l'asse y o meglio la darebbe: nel nostro caso x=0 non è in C.S. quindi quel calcolo è inutile.
Forza! La strada è ancora lunga ma con pazienza ed impegno puoi farcela.
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