Pitagora ed Euclide
Non ho idea di come fare questi due problemi
Risposte
Buongiorno Missypandora,
prova a risolvere prima gli esercizi in modo autonomo e poi guarda la soluzione:
(osservazione: si indica con sqrt[valore] la radice quadrata del valore)
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es. 2.
per risolvere questo esercizio bisogno tenere a mente alcune regole geometriche e trigonometriche:
1)data una circonferenza di centro O e raggio R (nel caso particolare 2 volte AB oppure OP) e tirata una generica corda (consideriamo nel caso particolare la corda PB) l'angolo al centro equivale al doppio dell'angolo alla circonferenza;
come corollario di ciò se la corda è il diametro, il suo angolo alla circonferenza è sempre di 90 gradi.
2)sia P un punto generico della circonferenza, la retta tangente in P è sempre ortogonale al raggio passante per P;
3)siccome si dovra' discutere di un angolo e del suo doppio, si richiamano le formule trigonometriche di duplicazione:
sin[2*angolo]=2*sin[angolo]*cos[angolo]
cos[2*angolo]=(cos[angolo])^2-(sin[angolo])^2
passando alla risoluzione, la prima cosa da fare è disegnare la circonferenza e i punti indicati come indicato nel testo. Inoltre definiamo H come la proiezione di P su AB.
per costruzione e per i richiami teorici si sa che gli angoli:
POB=2*PAB
e che gli angoli:
POB=KPH
(a giustificazione di questa uguaglianza si rimanda ad osservare la similitudine dei triangoli rettangoli POH e KPH e la complementarita' deigli angoli OPH e KPH)
L'obiettivo è quello di dimostrare che:
AH*HB=OH*HK
innanzitutto per similitudine dei triangoli rettangoli applico la proporzione tra i triangoli APB e APH per determinare AH e tra i triangoli APB e BPH per determinare HB:
AH:AP=AP:AB
HB:PB=PB=AB
e quindi:
AH=AP^2/AB
HB=PB^2/AB
per determinare invece i segmenti OH e HK procedo con la definizione dell'angolo PAB e POB attraverso le formule trigonometriche:
PB=AB*sin(PAB) e quindi sin(PAB)=PB/AB
AP=AB*con(PAB) e quindi cos(PAB)=AP/AB
sin(2*PAB)=2*sin(PAB)*cos(PAB)
tan(2*PAB)=sin(2*PAB)/cos(2*PAB)
dunque, per quanto detto e per costruzione, si ha che :
OH=OP*cos(2*PAB)=AB/2*cos(2*PAB);
che:
PH=AP*sin(PAB);
e che:
HK=PH*tan(2*PAB)
quindi:
(AP^2/AB)*(PB^2/AB)=(AB/2*cos(2*PAB))*(PH*tan(2*PAB))
e per dimostrare che il termine di sinistra è uguale al termine di destra eseguo una serie di passaggi:
sciolgo la tangente:
(AP^2/AB)*(PB^2/AB)=(AB/2*cos(2*PAB))*(PH*sin(2*PAB)/cos(2*PAB))
semplifico il coseno:
(AP^2/AB)*(PB^2/AB)=(AB/2)*(PH*sin(2*PAB))
per duplicazione esplicito il seno e sostituisco il valore di PH:
(AP^2/AB)*(PB^2/AB)=(AB/2)*(AP*sin(PAB)*2*sin(PAB)*cos(PAB))
conoscendo il valore di sin(PAB) e cos(PAB) dimostro l'uguaglianza dell'equazione, cvd:
(AP^2/AB)*(PB^2/AB)=AB*AP*(PB/AB)^2*(AP/AB)
(AP^2/AB)*(PB^2/AB)=AP*(PB/AB)^2*AP
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es. 3.
dopo aver richiamato la definizione di triangolo isoscele se e solo se un triangolo ha 2 angoli uguali, passo al disegno e alla risoluzione del problema:
innanzitutto definisco cinque ulteriori:
C=vertice del triangolo
H=proiezione del vertice C sulla base AB
M=intercetta della mediana sul alto obliquo CB
N=intercetta della mediana sul lato obliquo CA
Q=la proiezione di M su AB
la determinazione della mediana rispetto alla base del triangolo isoscele che corrisponde anche all'altezza dello stesso, si determina eguagliando le aree delle due figure equivalenti e determinando di seguito l'altezza del triangolo:
A(rombo)=12*8/2=48
A(triangolo)=A(rombo)
1)lunghezza mediana su AB:
CH=A(triangolo)*2/AB=48*2/8=12
2)lunghezza delle mediane AM e BN:
la lunghezza del lato obliquo del triangolo isoscele è nota per pitagora:
CB=sqrt[CH^2+HB^2]=sqrt[CH^2+(AB/2)^2]=sqrt[12^2+4^2]=4*sqrt[10]
i triangoli CBH e MBQ sono rettangoli con l'angolo CBA in comune e quindi sfrutto le relazioni trigonometriche:
CH=CB*sin(ABC) e quindi sin(ABC)=CH/CB=12/(4*sqrt[10])=3/sqrt[10]
HB=CB*cos(ABC) e quindi cos(ABC)=HB/CB=4/(4*sqrt[10])=1/sqrt[10]
MQ=MB*sin(ABC)=(CB/2)*sin(ABC)=(4*sqrt[10]/2)*(3/sqrt[10])=6
QB=MB*cos(ABC)=(CB/2)*cos(ABC)=(4*sqrt[10]/2)*(1/sqrt[10])=2
AQ=AB-QB=8-2=6
siccome AQ=MQ si nota che la lunghezza della mediana M (che è anche la lunghezza della mediana N per simmetria) è pari alla diagonale di un quadrato di lato 6 e quindi la risposta al secondo quesito e':
AM=BN=6*sqrt[2]
Spero che sia stato tutto chiaro e buono studio :D
prova a risolvere prima gli esercizi in modo autonomo e poi guarda la soluzione:
(osservazione: si indica con sqrt[valore] la radice quadrata del valore)
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es. 2.
per risolvere questo esercizio bisogno tenere a mente alcune regole geometriche e trigonometriche:
1)data una circonferenza di centro O e raggio R (nel caso particolare 2 volte AB oppure OP) e tirata una generica corda (consideriamo nel caso particolare la corda PB) l'angolo al centro equivale al doppio dell'angolo alla circonferenza;
come corollario di ciò se la corda è il diametro, il suo angolo alla circonferenza è sempre di 90 gradi.
2)sia P un punto generico della circonferenza, la retta tangente in P è sempre ortogonale al raggio passante per P;
3)siccome si dovra' discutere di un angolo e del suo doppio, si richiamano le formule trigonometriche di duplicazione:
sin[2*angolo]=2*sin[angolo]*cos[angolo]
cos[2*angolo]=(cos[angolo])^2-(sin[angolo])^2
passando alla risoluzione, la prima cosa da fare è disegnare la circonferenza e i punti indicati come indicato nel testo. Inoltre definiamo H come la proiezione di P su AB.
per costruzione e per i richiami teorici si sa che gli angoli:
POB=2*PAB
e che gli angoli:
POB=KPH
(a giustificazione di questa uguaglianza si rimanda ad osservare la similitudine dei triangoli rettangoli POH e KPH e la complementarita' deigli angoli OPH e KPH)
L'obiettivo è quello di dimostrare che:
AH*HB=OH*HK
innanzitutto per similitudine dei triangoli rettangoli applico la proporzione tra i triangoli APB e APH per determinare AH e tra i triangoli APB e BPH per determinare HB:
AH:AP=AP:AB
HB:PB=PB=AB
e quindi:
AH=AP^2/AB
HB=PB^2/AB
per determinare invece i segmenti OH e HK procedo con la definizione dell'angolo PAB e POB attraverso le formule trigonometriche:
PB=AB*sin(PAB) e quindi sin(PAB)=PB/AB
AP=AB*con(PAB) e quindi cos(PAB)=AP/AB
sin(2*PAB)=2*sin(PAB)*cos(PAB)
tan(2*PAB)=sin(2*PAB)/cos(2*PAB)
dunque, per quanto detto e per costruzione, si ha che :
OH=OP*cos(2*PAB)=AB/2*cos(2*PAB);
che:
PH=AP*sin(PAB);
e che:
HK=PH*tan(2*PAB)
quindi:
(AP^2/AB)*(PB^2/AB)=(AB/2*cos(2*PAB))*(PH*tan(2*PAB))
e per dimostrare che il termine di sinistra è uguale al termine di destra eseguo una serie di passaggi:
sciolgo la tangente:
(AP^2/AB)*(PB^2/AB)=(AB/2*cos(2*PAB))*(PH*sin(2*PAB)/cos(2*PAB))
semplifico il coseno:
(AP^2/AB)*(PB^2/AB)=(AB/2)*(PH*sin(2*PAB))
per duplicazione esplicito il seno e sostituisco il valore di PH:
(AP^2/AB)*(PB^2/AB)=(AB/2)*(AP*sin(PAB)*2*sin(PAB)*cos(PAB))
conoscendo il valore di sin(PAB) e cos(PAB) dimostro l'uguaglianza dell'equazione, cvd:
(AP^2/AB)*(PB^2/AB)=AB*AP*(PB/AB)^2*(AP/AB)
(AP^2/AB)*(PB^2/AB)=AP*(PB/AB)^2*AP
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es. 3.
dopo aver richiamato la definizione di triangolo isoscele se e solo se un triangolo ha 2 angoli uguali, passo al disegno e alla risoluzione del problema:
innanzitutto definisco cinque ulteriori:
C=vertice del triangolo
H=proiezione del vertice C sulla base AB
M=intercetta della mediana sul alto obliquo CB
N=intercetta della mediana sul lato obliquo CA
Q=la proiezione di M su AB
la determinazione della mediana rispetto alla base del triangolo isoscele che corrisponde anche all'altezza dello stesso, si determina eguagliando le aree delle due figure equivalenti e determinando di seguito l'altezza del triangolo:
A(rombo)=12*8/2=48
A(triangolo)=A(rombo)
1)lunghezza mediana su AB:
CH=A(triangolo)*2/AB=48*2/8=12
2)lunghezza delle mediane AM e BN:
la lunghezza del lato obliquo del triangolo isoscele è nota per pitagora:
CB=sqrt[CH^2+HB^2]=sqrt[CH^2+(AB/2)^2]=sqrt[12^2+4^2]=4*sqrt[10]
i triangoli CBH e MBQ sono rettangoli con l'angolo CBA in comune e quindi sfrutto le relazioni trigonometriche:
CH=CB*sin(ABC) e quindi sin(ABC)=CH/CB=12/(4*sqrt[10])=3/sqrt[10]
HB=CB*cos(ABC) e quindi cos(ABC)=HB/CB=4/(4*sqrt[10])=1/sqrt[10]
MQ=MB*sin(ABC)=(CB/2)*sin(ABC)=(4*sqrt[10]/2)*(3/sqrt[10])=6
QB=MB*cos(ABC)=(CB/2)*cos(ABC)=(4*sqrt[10]/2)*(1/sqrt[10])=2
AQ=AB-QB=8-2=6
siccome AQ=MQ si nota che la lunghezza della mediana M (che è anche la lunghezza della mediana N per simmetria) è pari alla diagonale di un quadrato di lato 6 e quindi la risposta al secondo quesito e':
AM=BN=6*sqrt[2]
Spero che sia stato tutto chiaro e buono studio :D
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