Piramide con base triangolo rettangolo isoscele
Salve, mi scuso già in anticipo per la natura del problema che sicuramente sarà banale, ma ho provato a risolverlo in diversi modi e usando diverse relazioni ma non capisco perché non trovo (e sopratutto non riesco a capire) la soluzione!
Il problema è questo:
Una piramide ha per base un triangolo rettangolo isoscele. L'ipotenusa del triangolo e l'altezza della piramide misurano a. Qual è il volume della piramide?
Sapendo che il volume di una piramide a base triangolare è pari al prodotto dell'area di base per l'altezza fratto tre ho provato diversi ragionamenti, anche di tipo grafico, ma forse mi ingarbuglio nei calcoli e non riesco a capire come trovare la soluzione...
Qualche indizio?
Il problema è questo:
Una piramide ha per base un triangolo rettangolo isoscele. L'ipotenusa del triangolo e l'altezza della piramide misurano a. Qual è il volume della piramide?
Sapendo che il volume di una piramide a base triangolare è pari al prodotto dell'area di base per l'altezza fratto tre ho provato diversi ragionamenti, anche di tipo grafico, ma forse mi ingarbuglio nei calcoli e non riesco a capire come trovare la soluzione...
Qualche indizio?
Risposte
ciao
allora... partiamo dal triangolo che forma la base
tu sai che l'ipotenusa misura $a$... benissimo, quindi andiamo a vedere sa il nostro amico Pitagora è in casa e chiediamo a lui
Sappiamo che il triangolo alla base è isoscele quindi i due cateti sono uguali diciamo che li chiameremo $d$ tanto per dare loro un nome
quindi se Pitagora ha voglia di darci una mano dovremmo avere che
$d^2 + d^2 = a^2 \Rightarrow 2d^2 = a^2 \Rightarrow d^2 = (a^2)/2 \Rightarrow d = a/sqrt(2) \Rightarrow d= sqrt(2)/2 a$
ma i due cateti, essendo il triangolo alla base un triangolo rettangolo, possono anche essere base e altezza di quel triangolo, quindi l'area della base sarà $B = 1/2 (sqrt(2)/2 a \cdot sqrt(2)/2 a) = 1/4 a^2$
ora che sappiamo quanto vale l'area della base della piramide il volume lo troviamo come hai detto tu
allora... partiamo dal triangolo che forma la base
tu sai che l'ipotenusa misura $a$... benissimo, quindi andiamo a vedere sa il nostro amico Pitagora è in casa e chiediamo a lui
Sappiamo che il triangolo alla base è isoscele quindi i due cateti sono uguali diciamo che li chiameremo $d$ tanto per dare loro un nome
quindi se Pitagora ha voglia di darci una mano dovremmo avere che
$d^2 + d^2 = a^2 \Rightarrow 2d^2 = a^2 \Rightarrow d^2 = (a^2)/2 \Rightarrow d = a/sqrt(2) \Rightarrow d= sqrt(2)/2 a$
ma i due cateti, essendo il triangolo alla base un triangolo rettangolo, possono anche essere base e altezza di quel triangolo, quindi l'area della base sarà $B = 1/2 (sqrt(2)/2 a \cdot sqrt(2)/2 a) = 1/4 a^2$
ora che sappiamo quanto vale l'area della base della piramide il volume lo troviamo come hai detto tu
forse il tuo tallone d'achille è il fatto che non sai quant'è il lato l della base. Però sai che il triangolo è isoscele, quindi $l\cos \theta = l\sin \theta$. Da cui hai $\theta=\pi/4$.
A questo punto hai semplicemente $l=a\sqrt(2)/2$.
A questo punto la risposta è praticamente banale.
A questo punto hai semplicemente $l=a\sqrt(2)/2$.
A questo punto la risposta è praticamente banale.
[xdom="Seneca"]Sposto in Secondaria II grado.[/xdom]
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