Piccolo problema
Salve,
purtroppo nè io, nè i miei compagni, nè il mio professore
siamo riusciti a trovare la soluzione a questo problema di geometria:
Data una semicirconferenza di diametro $ AB = 2r $ , determina la misura del raggio $ x $ di una circonferenza tangente in $ D $ al diametro AB e in $ E $ alla semicirconferenza in modo che, detto $ C $ il suo centro, si abbia $ AD + DC + CE = 5/4r $.
I nostri tentativi sono stati principalmente sul prolungare qualche segmento per arrivare ad applicare il teorema della tangente e della secante. Solo che non siamo riusciti ad arrivare all'equazione risolutiva con i dati ricavati. È il procedimento giusto?
purtroppo nè io, nè i miei compagni, nè il mio professore
siamo riusciti a trovare la soluzione a questo problema di geometria:Data una semicirconferenza di diametro $ AB = 2r $ , determina la misura del raggio $ x $ di una circonferenza tangente in $ D $ al diametro AB e in $ E $ alla semicirconferenza in modo che, detto $ C $ il suo centro, si abbia $ AD + DC + CE = 5/4r $.
I nostri tentativi sono stati principalmente sul prolungare qualche segmento per arrivare ad applicare il teorema della tangente e della secante. Solo che non siamo riusciti ad arrivare all'equazione risolutiva con i dati ricavati. È il procedimento giusto?
Risposte
Essendo per Pitagora $OD=sqrt((r-x)^2-x^2)$ l'equazione diventa:
$r-sqrt(r^2-2rx)+2x=5/4r$
Risolvendola si ottiene la soluzione $x = 3/8r$ .
Più che piccolo. Microscopico!
$r-sqrt(r^2-2rx)+2x=5/4r$
Risolvendola si ottiene la soluzione $x = 3/8r$ .
Più che piccolo. Microscopico!
Con quei teoremi non saprei trovare la soluzione, ma Pitagora è un grande mago. Pongo D sul prolungamento di AB oltre B (oppure fra A e B),
Si ha $CD=x$ e $CE=x$; dalla formula data ricavi $AD=5/4r-2x$ e quindi $OD=AD-AO=r/4-2x$. Se le circonferenze sono tangenti esternamente hai $OC=r+x$ e ricavi l'equazione voluta da $OC^2=OD^2+CD^2$; se sono tangenti internamente è invece $OC=|r-x|$ e continui in modo analogo. Io non ho proseguito, quindi non so dire se entrambe le soluzioni sono accettabili.
Si ha $CD=x$ e $CE=x$; dalla formula data ricavi $AD=5/4r-2x$ e quindi $OD=AD-AO=r/4-2x$. Se le circonferenze sono tangenti esternamente hai $OC=r+x$ e ricavi l'equazione voluta da $OC^2=OD^2+CD^2$; se sono tangenti internamente è invece $OC=|r-x|$ e continui in modo analogo. Io non ho proseguito, quindi non so dire se entrambe le soluzioni sono accettabili.
"MaMo":
Essendo per Pitagora $OD=sqrt((r-x)^2-x^2)$ l'equazione diventa:
$r-sqrt(r^2-2rx)+2x=5/4r$
Risolvendola si ottiene la soluzione $x = 3/8r$ .
Più che piccolo. Microscopico!
L'unico problema è: come sai che il prolungamento di OC tocca la semicirconferenza nel punto di tangenza, applicando così la relazione da te individuata?
Il risultato è giusto, comunque.
Si sa perché un teorema afferma che se due circonferenze sono tangenti il punto di tangenza si trova sulla retta che congiunge i centri.
Quanto al resto: la soluzione trovata da MaMo è accettabile per il problema e corrisponde D coincidente col punto medio di AO; lui ha posto D fra O e B e non ha pensato che in caso contrario ci sarebbe stata un'equazione analoga, ma con il meno davanti ad OD.
La soluzione $x=3/8r$ si trova nel caso di tangenza interna mentre per la tangenza esterna trovo $x=r(3-2sqrt6)/8$ ed i corrispondenti valori di OD ed AD sono negativi. Per OD il segno meno può essere interpretato come "dalla parte opposta", ma AD è citato nel testo e quindi va inteso come segmento e non può essere negativo.
Avevo però trascurato il caso in cui D è sul prolungamento di AB alla parte di A; salvo errori di calcolo, trovo allora $x=r(11+-2sqrt14)/8$. La soluzione col + va scartata perché OD risulta negativo (e in questo caso è ben precisato che non può essere dall'altra parte) mentra quella col - mi sembra perfettamente accettabile.
Quanto al resto: la soluzione trovata da MaMo è accettabile per il problema e corrisponde D coincidente col punto medio di AO; lui ha posto D fra O e B e non ha pensato che in caso contrario ci sarebbe stata un'equazione analoga, ma con il meno davanti ad OD.
La soluzione $x=3/8r$ si trova nel caso di tangenza interna mentre per la tangenza esterna trovo $x=r(3-2sqrt6)/8$ ed i corrispondenti valori di OD ed AD sono negativi. Per OD il segno meno può essere interpretato come "dalla parte opposta", ma AD è citato nel testo e quindi va inteso come segmento e non può essere negativo.
Avevo però trascurato il caso in cui D è sul prolungamento di AB alla parte di A; salvo errori di calcolo, trovo allora $x=r(11+-2sqrt14)/8$. La soluzione col + va scartata perché OD risulta negativo (e in questo caso è ben precisato che non può essere dall'altra parte) mentra quella col - mi sembra perfettamente accettabile.
Ecco, mi mancava questo teorema.
Va bene, problema risolto, grazie mille a tutti
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