Piccolo dubbio su questo studio di funzioni
Ciao a tutti, vorrei proporvi questo studio di funzioni, per avere conferma del suo svolgimento:
$y=xsqrt(4-x^2)$
(la prima x fuori radice e il resto tutto sotto radice).
L'esercizio consisteva in: trovare il dominio, scriverlo in intervalli, trovare zeri, segno, limite, derivata prima, segno della deriva prima.
Come si potrebbe fare?
p.s: a me venivano anche delle soluzioni non accettabili (perchè andavano contro il dominio)
$y=xsqrt(4-x^2)$
(la prima x fuori radice e il resto tutto sotto radice).
L'esercizio consisteva in: trovare il dominio, scriverlo in intervalli, trovare zeri, segno, limite, derivata prima, segno della deriva prima.
Come si potrebbe fare?
p.s: a me venivano anche delle soluzioni non accettabili (perchè andavano contro il dominio)
Risposte
La funzione è questa $y=xsqrt(4-x^2)$ giusto?
Le soluzioni che stanno fuori dal dominio non vanno tenute in considerazione, proprio perché fuori dal dominio.
Le soluzioni che stanno fuori dal dominio non vanno tenute in considerazione, proprio perché fuori dal dominio.
No, è $y=xsqrt(4-x^2)$
mi sono accorto dopo di averla scritta male, scusami
mi sono accorto dopo di averla scritta male, scusami
"Caros":
No, è y=x che moltiplica radice quadrata di 4-x^2
mi sono accorto dopo di averla scritta male, scusami
quindi mi stai dicendo che è così? $ y=xroot(4)(4-x^2) $
è corretta ora?
SE fosse quella corretta, per quanto riguarda il dominio devi impostare $ 4-x^2 \geq0 $
E' giusta quella che ha scritto @Melia 
$y=xsqrt(4-x^2)$
$y=xsqrt(4-x^2)$
"Caros":
E' giusta quella che ha scritto @Melia
$y=xsqrt(4-x^2)$
ah ok.. $ y=x\sqrt(4-x^2) $
Comunque in ogni caso per il DOMINIO.. devi impostare $ 4-x^2\geq 0 $
risolvi la disequazione e trovi il dominio
Molto bene, il dominio dovrei averlo fatto giusto allora
dom $y=[-2,2]$
Illustro inoltre il procedimento che ho seguito
zeri:
$xsqrt(4-x^2) = 0$
$x^2(4-x^2) = 0$
$x=0 , x=+2, x=-2$
Soluzioni tutte accettabili
segno:
ho posto la funzione maggiore di 0
risultati alla fine:
$x^2 > 0$ sempre tranne x diverso da 0
$4-x^2 > 0$ x compreso tra -2 e 2
limiti:
ho posto la funzione con i limiti che tendevano a 2+ e 2-, -2+ e -2-
$lim_(x -> 2+) xsqrt(4-x^2) = 0+$
alla fine ho ottenuto tutti risultati prossimi allo zero (0+, 0-)
derivata:
forse l'ho sbagliata, mi è venuta:
$f' = x^4 / (x^2-4)$
poi ho svolto normalmente il segno della derivata.
dom $y=[-2,2]$
Illustro inoltre il procedimento che ho seguito
zeri:
$xsqrt(4-x^2) = 0$
$x^2(4-x^2) = 0$
$x=0 , x=+2, x=-2$
Soluzioni tutte accettabili
segno:
ho posto la funzione maggiore di 0
risultati alla fine:
$x^2 > 0$ sempre tranne x diverso da 0
$4-x^2 > 0$ x compreso tra -2 e 2
limiti:
ho posto la funzione con i limiti che tendevano a 2+ e 2-, -2+ e -2-
$lim_(x -> 2+) xsqrt(4-x^2) = 0+$
alla fine ho ottenuto tutti risultati prossimi allo zero (0+, 0-)
derivata:
forse l'ho sbagliata, mi è venuta:
$f' = x^4 / (x^2-4)$
poi ho svolto normalmente il segno della derivata.
Visto che il dominio è simmetrico, potresti vedere se anche la funzione è simmetrica pari o dispari.
Non devi calcolare il limite a $2^+$ o a $-2^-$ perché a destra di $2$ e a sinistra di $-2$ la funzione non è definita. Puoi, però, calcolare $f(2)$ e $f(-2)$ e così non hai bisogno dei limiti neppure a $2^-$ o a $-2^+$ .
La derivata è sbagliata. Si tratta di un prodotto, quindi:
$D[xsqrt(4-x^2)]= D[x]*sqrt(4-x^2)+x*D[sqrt(4-x^2)]=$
$=1*sqrt(4-x^2)+x*(-2x)/(2sqrt(4-x^2))= ... =(4-2x^2)/sqrt(4-x^2)$
Non devi calcolare il limite a $2^+$ o a $-2^-$ perché a destra di $2$ e a sinistra di $-2$ la funzione non è definita. Puoi, però, calcolare $f(2)$ e $f(-2)$ e così non hai bisogno dei limiti neppure a $2^-$ o a $-2^+$ .
La derivata è sbagliata. Si tratta di un prodotto, quindi:
$D[xsqrt(4-x^2)]= D[x]*sqrt(4-x^2)+x*D[sqrt(4-x^2)]=$
$=1*sqrt(4-x^2)+x*(-2x)/(2sqrt(4-x^2))= ... =(4-2x^2)/sqrt(4-x^2)$
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