Piccoli Quesiti

[filippo.ermidio]

1) Dare un esempio di funzione f(x) definita su tutto R ed ivi continua, tale che : lim per x---->+ infinito f(x) =2 e lim per x---->+ infinito f(x)=3

2) Determinare al variare di k, il numero delle soluzioni reali dell'equazione : x^3 -kx^2 +2 - k =0

3) Illustrare il teorema di de l'Hopital e applicarlo per calcolare il lim per x----> +infinito x^4 / e^(2x)


Chi saprebbe darmi una mano?? Grazie mille a tutti quelli che risponderanno

[_prime_number]

Te la do volentieri se scrivi le formule come richiede il regolamento. Tra l'altro il punto 1 non ha matematicamente senso.

Paola

[giammaria2]

Scusa, prime_number, perché dici che il punto 1 non ha senso? A me pare che un esempio possa essere
$lim_(x->+oo)(2x^2+5)/(x^2+3)=2$

Piuttosto invito Eyesfil a rispettare il regolamento scrivendo un suo tentativo di soluzione. Per quanto riguarda la scrittura della formule, gli do un suggerimento: la mia formula precedente è stata ottenuta ponendo il segno del dollaro all'inizio e alla fine di lim_(x->+oo)(2x^2+5)/(x^2+3)=2

[@melia]

"giammaria":Scusa, prime_number, perché dici che il punto 1 non ha senso?

Non hai letto tutto il testo, il limite deve valere sia 2 che 3, sempre per $x->+oo$

[giammaria2]

Capisco e ringrazio. Io l'avevo inteso come due esempi, con una funzione tendente a 2 e l'altra a 3.

[vittorino70]

Secondo quesito.
Si ha:
\(\displaystyle k=\frac{x^3+2}{x^2+1} \)
Che si può anche scrivere come :
\(\displaystyle \begin{cases} y=f(x)=\frac{x^3+2}{x^2+1}\\y=k \end{cases}\)
Si tratta quindi di intersecare il grafico di f(x) con il fascio di rette y=k e contare il numero delle intersezioni che sarà anche il numero delle radici reali dell'equazione proposta.
Il grafico di f(x) è segnato nella figura allegata.Esso interseca l'asse x nel punto \(\displaystyle (-\sqrt[3]{2} ,0)\).Ha un massimo relativo nel punto \(\displaystyle (0,2)\) ed un minimo relativo nel punto \(\displaystyle (1,\frac{3}{2}) \).Ha vari flessi non segnati sulla fig. ed infine ha un asintoto obliquo di equazione \(\displaystyle y=x \)
Facendo variare la retta y=k come disegnato in figura, si vedono facilmente le soluzioni che interessano.