Piccola dimostrazione
dimostrare che: $2a+3b=c$ con ${a,b,c} in ZZ$, deve essere vera $AA c in ZZ$
(in pratica $c$ può assumere qualsiasi valore in $ZZ$, e si possono trovare due valori $a$ e $b$ che soddisfino sempre la relazione)
è un passaggio che fa parte di un'altra dimostrazione ma che il libro da per scontato... per quanto banale non riesco ad arrivarci, grazie.
(in pratica $c$ può assumere qualsiasi valore in $ZZ$, e si possono trovare due valori $a$ e $b$ che soddisfino sempre la relazione)
è un passaggio che fa parte di un'altra dimostrazione ma che il libro da per scontato... per quanto banale non riesco ad arrivarci, grazie.
Risposte
$\mathbb{Z}$ è chiuso rispetto alla somma e rispetto al prodotto, se puoi prenderlo per buono basta.
basta prendere b=c ed a=-c credo
è la prima volta che sento una cosa del genere... un link o qualcosa che me lo spieghi? thx.
"codino75":si ho capito, 3a-2a=c, a=c cap. grazie
basta prendere b=c ed a=-c credo
Avevo capito un'altra cosa, scusate.
solo una cosa, cosa intendi per "chiuso rispetto alla somma e al prodotto"?
Significa che il risultato di una somma o di un prodotto di due numeri interi è ancora un intero.
Mi è venuto un dubbio, come si dimostra che $\mathbb{Z}$ è chiuso rispetto alla somma? Intuitivamente si capisce, ma formalmente come si fa?
Hmm, basta osservare che se $n,m \in ZZ$, allora $n+m$ e $n*m$ sono interi. Non c'è molto mistero in questo fatto, se si accettano gli assiomi "standard".
Ah be', se è un assioma non si dimostra...
Non dicevo che questo è un assioma (non credo proprio lo sia), ma, partendo dalle classiche regole dei numeri interi (cioè non fare come Russell nei Principia), si deriva questo fatto intuitivo senza difficoltà.
Sì sì, lo avevo capito, intendevo dire che se quello deriva da un assioma, l'assioma non va dimostrato, e a quella roba si arriva facilmente, no?
Sì, ci si arriva osservando che $ZZ(+)$ è un gruppo abeliano, che $ZZ(\cdot)$ è un monoide e la distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione. Oppure, esplicitamente:
1) $(a+b)+c=a+(b+c)$
2) $a+b=b+a$
3) $a+0=a$
4) $a+(-a)=0$
5) $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$
6) $a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c$
7) $(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a$
(Credo che ci siano tutte)
Tutte queste caratteristiche fanno, appunto, di $ZZ$ un anello commutativo.
1) $(a+b)+c=a+(b+c)$
2) $a+b=b+a$
3) $a+0=a$
4) $a+(-a)=0$
5) $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$
6) $a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c$
7) $(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a$
(Credo che ci siano tutte)
Tutte queste caratteristiche fanno, appunto, di $ZZ$ un anello commutativo.
In realta' basta che dimostri che $ZZ$ e' un anello, ovvero che e' definita un'operazione di somma associativa e commutativa, che e' definito un prodotto associativo e distributivo rispetto alla somma, che esistono identita' e inverso rispetto alla somma (l'identita' e' quell'elemento che sommato a qualsiasi altro elemento di $ZZ$ da' l'elemento stesso, ovvero 0, mentre l'inverso di a in $ZZ$ e' quell'elemento che sommato ad "a" ti restituisce l'identit'. Nel caso di $ZZ$ l'inverso' della somma e' l'opposto di un intero). Fatto cio' hai finito. In particolare puoi dimostrare anche che $ZZ$ e' un anello unitario commutativo, dominio d;integrita' e fattoriale ma queste sono cose piu' complicate, specialmente l'ultima.
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