Permutazioni e Combinazioni
Buonasera!
Avrei una domanda per voi...
Considerando una targa composta da tre lettere a caso in un gruppo di cinque e due numeri a caso in un gruppo di tre.
1 - Tutte le combinazioni possibili di numeri e lettere in qualsiasi ordine (eg: AB32Z, ABZ32, 2ABZ3...)
Si (Dovrebbe) risolvere così:
$((5!)/(2!*3!))*((3!)/(1!*2*!))$
2 - Tutte le permutazioni possibili di numeri seguiti da lettere (eg: ABC12, CBA21, ACB12...)
Si (Dovrebbe) risolvere così:
$((5!)/(5-3!))*((3!)/(3-2)!)$
La mia domanda è... Come si fa a trovare il numero di permutazioni quando le lettere e i numeri possono essere mischiati in qualsiasi ordine (Il primo esempio ma utilizzando le permutazioni invece delle combinazioni).
In questo caso ABC12 non sarebbe più uguale a CBA21...
Avrei una domanda per voi...
Considerando una targa composta da tre lettere a caso in un gruppo di cinque e due numeri a caso in un gruppo di tre.
1 - Tutte le combinazioni possibili di numeri e lettere in qualsiasi ordine (eg: AB32Z, ABZ32, 2ABZ3...)
Si (Dovrebbe) risolvere così:
$((5!)/(2!*3!))*((3!)/(1!*2*!))$
2 - Tutte le permutazioni possibili di numeri seguiti da lettere (eg: ABC12, CBA21, ACB12...)
Si (Dovrebbe) risolvere così:
$((5!)/(5-3!))*((3!)/(3-2)!)$
La mia domanda è... Come si fa a trovare il numero di permutazioni quando le lettere e i numeri possono essere mischiati in qualsiasi ordine (Il primo esempio ma utilizzando le permutazioni invece delle combinazioni).
In questo caso ABC12 non sarebbe più uguale a CBA21...
Risposte
Se ho capito bene il tuo problema, non sono molto convinto delle formule che hai scritto.
Supponiamo che hai un insieme di 5 lettere [tex]{A,B,C,D,E}[/tex] e un altro insieme di 3 numeri [tex]{1,2,3}[/tex].
Per calcolare il numero di disposizioni possibili di lettere e numeri in qualsiasi ordine io procederei cosí:
1) calcolo prima tutte le combinazioni di 3 lettere (eg: ABC, ABD, ABE, BCD, e cosí via) che sono [tex]{5 \choose 3}=10[/tex]
2) calcolo tutte le combinazioni di 2 numeri, come sopra, e ottengo: [tex]{3 \choose 2}=3[/tex]
3) Associamo ciascuna delle 10 combinazioni di lettere con ciascuna delle 3 combinazioni di numeri e otteniamo: [tex]10\cdot 3 = 30[/tex]
4) Ne prendiamo ciascuna e permutiamo i suoi 5 elementi in tutti i modi possibili ottenendo [tex]30\cdot 5!=3600[/tex]
Invece se vogliamo calcolare soltanto il numero di targhe in cui compaiono PRIMA le lettere, e POI i numeri, allora basta calcolare tutte le disposizioni possibili di lettere, e tutte le disposizioni possibili di numeri, che sono rispettivamente: [tex]\frac{5!}{(5-3)!}[/tex] e [tex]\frac{3!}{(3-2)!}[/tex]. Moltiplicandole si ottiene un totale di 360.
Spero di non aver sbagliato niente.
Ciao.
Supponiamo che hai un insieme di 5 lettere [tex]{A,B,C,D,E}[/tex] e un altro insieme di 3 numeri [tex]{1,2,3}[/tex].
Per calcolare il numero di disposizioni possibili di lettere e numeri in qualsiasi ordine io procederei cosí:
1) calcolo prima tutte le combinazioni di 3 lettere (eg: ABC, ABD, ABE, BCD, e cosí via) che sono [tex]{5 \choose 3}=10[/tex]
2) calcolo tutte le combinazioni di 2 numeri, come sopra, e ottengo: [tex]{3 \choose 2}=3[/tex]
3) Associamo ciascuna delle 10 combinazioni di lettere con ciascuna delle 3 combinazioni di numeri e otteniamo: [tex]10\cdot 3 = 30[/tex]
4) Ne prendiamo ciascuna e permutiamo i suoi 5 elementi in tutti i modi possibili ottenendo [tex]30\cdot 5!=3600[/tex]
Invece se vogliamo calcolare soltanto il numero di targhe in cui compaiono PRIMA le lettere, e POI i numeri, allora basta calcolare tutte le disposizioni possibili di lettere, e tutte le disposizioni possibili di numeri, che sono rispettivamente: [tex]\frac{5!}{(5-3)!}[/tex] e [tex]\frac{3!}{(3-2)!}[/tex]. Moltiplicandole si ottiene un totale di 360.
Spero di non aver sbagliato niente.
Ciao.
Molto chiaro, grazie! 
di niente!
Ragazzi, scusate l'intromissione, ma mi stavo allenando sulle probabilità/combinazioni ed ho trovato questo topic. 
A me sembra che maitomisdan abbia fatto un errore: per trovare le combinazioni di tre lettere in un insieme di 5, io ho fatto:
$ 5!\\(5-3)! $
cioè 60.
Poi 60·3·5!=21600.
Per il secondo punto invece penso che la formula di maitomisdan sia corretta, ma a me dà come risultato 180...
se mi sbaglio naturalmente correggetemi!
A me sembra che maitomisdan abbia fatto un errore: per trovare le combinazioni di tre lettere in un insieme di 5, io ho fatto:
$ 5!\\(5-3)! $
cioè 60.
Poi 60·3·5!=21600.
Per il secondo punto invece penso che la formula di maitomisdan sia corretta, ma a me dà come risultato 180...
se mi sbaglio naturalmente correggetemi!
ciao domx!
hai fatto bene a intervenire. Cerchiamo di capire insieme dove sta l'errore.
Partiamo col caso piú semplice: la seconda formula. Come mai ti viene 180?
[tex]\frac{5!}{(5-3)!} \cdot \frac{3!}{(3-2)!} = (5 \cdot 4 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 2) = 60 \cdot 6 = 360[/tex]
Per quanto riguarda il primo problema, la situazione é piú delicata.
Con la formula che hai scritto tu, hai essenzialmente calcolato le disposizioni semplici di lunghezza 3 da un insieme di 5 lettere.
In questo modo stai implicitamente considerando {ABC} e {CBA} come due elementi diversi da contare.
Fin qui potrebbe quasi andare bene, ma il problema arriva quando fai quella moltiplicazione per [tex]5![/tex] che non significa altro che enumerare tutte le possibili permutazioni delle nostre targhe.
Guarda cosa succede se consideriamo per esempio le due disposizioni di cui sopra, associate ad {12}. Abbiamo le due targhe {ABC12} e {CBA12}.
Elencando le permutazioni per ciascuna di queste due targhe, dovresti accorgerti di qualcosa di sospetto. Infatti la prima targa é in sé una permutazione della seconda targa (e viceversa).
Questo significa che nel tuo caso stai contando piú volte una notevole quantitá di targhe uguali, il che non é corretto, ed é per quello che ti viene fuori un numero cosí elevato.
Ti consiglio di dare un'occhiata qui http://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_combinatorio perché é importante chiarire la differenza tra permutazioni, combinazioni, disposizioni (con/senza ripetizioni).
Se non sei convinto, riscrivi sul forum senza fidarti ciecamente di me: tutti possono sbagliarsi.
Ciao.
hai fatto bene a intervenire. Cerchiamo di capire insieme dove sta l'errore.
Partiamo col caso piú semplice: la seconda formula. Come mai ti viene 180?
[tex]\frac{5!}{(5-3)!} \cdot \frac{3!}{(3-2)!} = (5 \cdot 4 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 2) = 60 \cdot 6 = 360[/tex]
Per quanto riguarda il primo problema, la situazione é piú delicata.
Con la formula che hai scritto tu, hai essenzialmente calcolato le disposizioni semplici di lunghezza 3 da un insieme di 5 lettere.
In questo modo stai implicitamente considerando {ABC} e {CBA} come due elementi diversi da contare.
Fin qui potrebbe quasi andare bene, ma il problema arriva quando fai quella moltiplicazione per [tex]5![/tex] che non significa altro che enumerare tutte le possibili permutazioni delle nostre targhe.
Guarda cosa succede se consideriamo per esempio le due disposizioni di cui sopra, associate ad {12}. Abbiamo le due targhe {ABC12} e {CBA12}.
Elencando le permutazioni per ciascuna di queste due targhe, dovresti accorgerti di qualcosa di sospetto. Infatti la prima targa é in sé una permutazione della seconda targa (e viceversa).
Questo significa che nel tuo caso stai contando piú volte una notevole quantitá di targhe uguali, il che non é corretto, ed é per quello che ti viene fuori un numero cosí elevato.
Ti consiglio di dare un'occhiata qui http://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_combinatorio perché é importante chiarire la differenza tra permutazioni, combinazioni, disposizioni (con/senza ripetizioni).
Se non sei convinto, riscrivi sul forum senza fidarti ciecamente di me: tutti possono sbagliarsi.
Ciao.
Ciao maitomiesdan, e grazie per la cortesia (sto studiando ora per la prima volta il calcolo combinatorio, da solo, e quindi se qualcuno mi spiega qualcosa fa sembre piacere )
Per la seconda formala, avevo fatto un errore nei calcoli, hai ragione tu, a rifarla esce 360.
Per la prima invece non capisco, max0009 dice:
Quindi a meno che non stia contando sempre sequenze identiche (come ABC ABC)non vanno bene ABC e CBA?
Grazie ancora
)Per la seconda formala, avevo fatto un errore nei calcoli, hai ragione tu, a rifarla esce 360.
Per la prima invece non capisco, max0009 dice:
1 - Tutte le combinazioni possibili di numeri e lettere in qualsiasi ordine (eg: AB32Z, ABZ32, 2ABZ3...)
Quindi a meno che non stia contando sempre sequenze identiche (come ABC ABC)non vanno bene ABC e CBA?
Grazie ancora
Ciao domx.
Ti rispondo al volo alla domanda:
Assolutamente si, in linea teorica vanno bene.
Il problemaccio sorge quando a quelle sequenze ci "appendi" due numeri ( {12} nel mio esempio), e successivamente enumeri tutte le permutazioni delle stringhe ABC12 a CBA12.
Tra le permutazioni della prima targa ci trovi anche CBA12, che é la seconda targa.
Tra le permutazione della seconda targa ci trovi anche ABC12, che é la prima targa.
La soluzione sta nel togliersi di mezzo i "doppioni" sin dall'inizio, e questo si fa considerando le combinazioni dei caratteri, poi le combinazioni dei numeri, ed ora si puó permutare senza rischi, perché con le combinazioni semplici non vengono contate ripetizioni e/o disposizioni differenti degli elementi.
Se hai ancora dubbi fammi sapere.
Ciao.
PS: una curiositá, a che livello stai studiando calcolo combinatorio: universitá o liceo?
Ti rispondo al volo alla domanda:
Quindi a meno che non stia contando sempre sequenze identiche (come ABC ABC)non vanno bene ABC e CBA?
Assolutamente si, in linea teorica vanno bene.
Il problemaccio sorge quando a quelle sequenze ci "appendi" due numeri ( {12} nel mio esempio), e successivamente enumeri tutte le permutazioni delle stringhe ABC12 a CBA12.
Tra le permutazioni della prima targa ci trovi anche CBA12, che é la seconda targa.
Tra le permutazione della seconda targa ci trovi anche ABC12, che é la prima targa.
La soluzione sta nel togliersi di mezzo i "doppioni" sin dall'inizio, e questo si fa considerando le combinazioni dei caratteri, poi le combinazioni dei numeri, ed ora si puó permutare senza rischi, perché con le combinazioni semplici non vengono contate ripetizioni e/o disposizioni differenti degli elementi.
Se hai ancora dubbi fammi sapere.
Ciao.
PS: una curiositá, a che livello stai studiando calcolo combinatorio: universitá o liceo?
più o meno ho capito, grazie
magari oggi pomeriggio provo a fare qualche esercio e ti dico
P.S.: frequento solo il liceo, per giunta classico, le sto studiando perché mi voglio preparare ai test univeristari
magari oggi pomeriggio provo a fare qualche esercio e ti dico
P.S.: frequento solo il liceo, per giunta classico, le sto studiando perché mi voglio preparare ai test univeristari
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo