Periodo di un prodotto di funzioni periodiche

[HowardRoark]

Vorrei calcolare il periodo di $y(t)= 2A * cos((omega_1+omega_2)/2t) * cos((omega_1-omega_2)/2t)$. Su internet ho letto che il periodo del prodotto di due funzioni periodiche, di periodo $T_1$ e $T_2$ è il minimo comune multiplo fra $T_1$ e $T_2$. Ma $T_1=(4pi)/(omega_1+omega_2)$ e $T_2 = (4pi)/(omega_1-omega_2)$, ed io il minimo comune multiplo lo ricordo solo tra numeri interi o al massimo tra polinomi: come dovrei calcolare il minimo comune multiplo di quelle due espressioni?

[mgrau]

Se il rapporto dei periodi è un numero razionale il periodo comune esiste, se no, no (come ha scoperto Pitagora un po' di tempo fa)

[moccidentale]

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[HowardRoark]

"sellacollesella":
Ammesso che esistano dei multipli interi comuni di \(T_1\), \(T_2\), in tal modo si ottiene un periodo della funzione prodotto, non necessariamente il più piccolo periodo positivo, che solitamente si definisce come il periodo.

Ma il multiplo di un numero razionale si definisce come il multiplo di un numero intero? In questo caso: un multiplo di un numero razionale $m/n$ sarebbe un numero ottenuto moltiplicando $m/n$ per un naturale. Quindi, ad esempio, multipli di $1/4$ sono $1/2, 3/4, 1, 5/4$ e così via, è corretto?

"sellacollesella":
Ad esempio, se consideriamo \(\sin(x)\) e \(\cos(3x)\) è evidente che abbiano rispettivamente periodo \(2\pi\) e \(2\pi/3\), da cui se ne deduce che un periodo del loro prodotto sia \(\text{m.c.m.}(6\pi/3,2\pi/3) = \frac{\pi}{3}\,\text{m.c.m.}(6,2) = 2\pi\), ma non è il più piccolo, dato che applicando la definizione, unica strada sicura in questo ambito, risulta essere \(\pi\).

Se applicando il minimo comune multiplo dei due periodi delle funzioni (in questo caso tu hai raccolto a fattore comune, quindi ti sei ricondotto ad un mcm tra interi) ottieni un periodo che non è il più piccolo (e quind non è il periodo), come si fa a trovare il periodo della funzione considerata? Come si poteva dedurre che il periodo di $sin(x)*cos(3x)$ fosse $pi$ e non $2pi$?

[moccidentale]

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[HowardRoark]

"sellacollesella": garanzia che invece continua a porgere la definizione, seppur brutta e puzzolente.

Se fosse un metodo semplice, seppur lungo, mi andrebbe pure bene

$cos(3x)*sen(x) = cos(3x+2kpi) * sen(x+2kpi).$ Pongo $beta = 3x+ 2kpi$ e $alpha = x+2kpi$.
Per le formule di prostaferesi ho che:
$cos(beta)*sen(alpha)= 1/2[sen(alpha+beta) + sen(alpha-beta)] = 1/2[sen(4x+2kpi) + sen(-2x)]=1/2[sen[2(2x+kpi)] - sen (2x)]$.
Da qui come faccio a dedurre il periodo di questa funzione?

[moccidentale]

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[HowardRoark]

La prossima volta allora applicherò il metodo che hai illustrato qui.
Gentilissimo come al solito, grazie mille!