Periodicità equazioni goniometriche
Salve quando io risolvo un'equazione tipo
$senx=1/2$
Scrivo come soluzioni
$x=\pi/6+2k\pi$
$x=5/6\pi+2k\pi$
C'è un modo per compattare le due scritture in un'unica espressione?
Quindi scriverle come qualcosa del tipo $x=\pi/6+f(k)$ o qualcosa di simile. Io pensavo magari in qualcosa contenente $(-1)^k$ ma non sono riuscito ancora a trovare nulle. Sapete se ciò si può fare e avete qualche consiglio? Grazie in anticipo.
$senx=1/2$
Scrivo come soluzioni
$x=\pi/6+2k\pi$
$x=5/6\pi+2k\pi$
C'è un modo per compattare le due scritture in un'unica espressione?
Quindi scriverle come qualcosa del tipo $x=\pi/6+f(k)$ o qualcosa di simile. Io pensavo magari in qualcosa contenente $(-1)^k$ ma non sono riuscito ancora a trovare nulle. Sapete se ciò si può fare e avete qualche consiglio? Grazie in anticipo.
Risposte
Eccola:
$senx=1/2 => x=kpi+(-1)^kpi/6$ con $k=0,1,2,3...$
se può esserti utile
$senx=-1/2 => x=kpi-(-1)^kpi/6$ con $k=0,1,2,3...$
$senx=1/2 => x=kpi+(-1)^kpi/6$ con $k=0,1,2,3...$
se può esserti utile
$senx=-1/2 => x=kpi-(-1)^kpi/6$ con $k=0,1,2,3...$
Quindi $senx=A$
Potrei risolverla come
$x=k\pi+(-1)^k arcsin(A)$
Giusto?
Per i valori negativi (quindi con $k=-1,-2... $) vale comunque vero?
Potrei risolverla come
$x=k\pi+(-1)^k arcsin(A)$
Giusto?
Per i valori negativi (quindi con $k=-1,-2... $) vale comunque vero?
"LoreT314":
Quindi $ senx=A $
Potrei risolverla come
$ x=k\pi+(-1)^k arcsin(A) $
Giusto?
Per i valori negativi (quindi con $ k=-1,-2... $) vale comunque vero?
Sì, prendendo il valore dell'arcoseno nell'intervallo $(-pi/2,pi/2)$, sempre con $k=0,1,2,....$ Si procede sempre in senso antiorario.
Ah e per tutte le soluzioni negative (parlo delle intersezione tra la retta orizzontale e la sinusoide nel semipiano negativo delle x) come si fa a esprimerle se k assume valori solo a partire da 0?
per k=0 sei nel 1° quadrante
per k pari sei nel 1° o nel 4° quadrante
per k dispari sei nel 2° o 3° quadrante
se l'arcsen è positivo sei nel 1° o nel 2°
se l'arcsen è negativo sei nel 3° o nel 4°
per k pari sei nel 1° o nel 4° quadrante
per k dispari sei nel 2° o 3° quadrante
se l'arcsen è positivo sei nel 1° o nel 2°
se l'arcsen è negativo sei nel 3° o nel 4°
Si ma se pensi al grafico della funzione seno intersecano con la retta orizzontale $y=A$ ci sono anche infinite soluzioni periodiche da $0$ a $-\infty$ che però se k assume solo valori positivi non vengono contemplate.
... devi risolvere un'equazione o altro?
Scusami Igiul, ma hai semplicemente dimenticato che $ k $ non è un naturale, ma un intero qualsiasi: $ k \in ZZ $
Ciao
Ciao
Quindi il
$x=k\pi+(-1)^k arcsin(A)$ con $k\in ZZ$ esprime tutte le soluzioni di $sinx=A$ è corretto?
Ora provo a darne una dimostrazione e ad estenderlo al coseno...avete qualche spunto per la dimostrazione?
$x=k\pi+(-1)^k arcsin(A)$ con $k\in ZZ$ esprime tutte le soluzioni di $sinx=A$ è corretto?
Ora provo a darne una dimostrazione e ad estenderlo al coseno...avete qualche spunto per la dimostrazione?
Quella del coseno è più facile, di norma si fa sempre in forma compatta.
A titolo squisitamente ludico, ma con una piccola valenza didattica (agli studenti svegli piace giocare a camuffare le situazioni), propongo queste due alternative (fra le tante altre possibili):
con $ -1<=A<=1$ e $ k \in ZZ $
$ sin x=A rightarrow x=arcsin A+\pi cos(k \pi) $; e, per chi ama il doppio segno
$ sin x=A rightarrow x=+-(\pi/2-arcsin A)+(4k+1)\pi/2 $
Ciao
con $ -1<=A<=1$ e $ k \in ZZ $
$ sin x=A rightarrow x=arcsin A+\pi cos(k \pi) $; e, per chi ama il doppio segno
$ sin x=A rightarrow x=+-(\pi/2-arcsin A)+(4k+1)\pi/2 $
Ciao
Grazie mille
Ho provato a di mostrarla ma non ci sono riuscito. Avete qualche spunto da cui potrei partire?
Ho provato a di mostrarla ma non ci sono riuscito. Avete qualche spunto da cui potrei partire?
Non mi è chiaro cosa non riesci a 'dimostrare'. Provo a tentare di indovinare: @melia sarebbe indubbiamente più brava di me, ma questa sera è impegnata
Con $k \in ZZ $, partendo da $ x=1/6 \pi +2k \pi vv x=5/6 \pi + 2k \pi $ (che va benissimo), vuoi arrivare alla scrittura più compatta?
In questo caso basta osservare che $ 5/6 \pi = \pi- 1/6 \pi $ e quindi le due soluzioni esistenti in ciascun giro ( ciascun intervallo fra due multipli consecutivi di $ 2 \pi$, se ragioni sulla retta), le puoi 'ancorare' ai multipli di $ \pi $: se il multiplo è pari dovrai aggiungere $ 1/6 \pi $, se è dispari lo dovrai invece sottrarre. Per fare questo basta una qualsiasi funzione sugli interi che valga $ 1 $ se l'intero è pari e $ -1$ se è dispari.
Ciao
Con $k \in ZZ $, partendo da $ x=1/6 \pi +2k \pi vv x=5/6 \pi + 2k \pi $ (che va benissimo), vuoi arrivare alla scrittura più compatta?
In questo caso basta osservare che $ 5/6 \pi = \pi- 1/6 \pi $ e quindi le due soluzioni esistenti in ciascun giro ( ciascun intervallo fra due multipli consecutivi di $ 2 \pi$, se ragioni sulla retta), le puoi 'ancorare' ai multipli di $ \pi $: se il multiplo è pari dovrai aggiungere $ 1/6 \pi $, se è dispari lo dovrai invece sottrarre. Per fare questo basta una qualsiasi funzione sugli interi che valga $ 1 $ se l'intero è pari e $ -1$ se è dispari.
Ciao
Ok grazie mille. Per il coseno immagino sia semplicemente $x=+-arccosA+2k\pi$
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