Perché $ log_[a^n] b^n = log_a b $ ?
Ciao a tutti, sto ripassando le proprietà dei logaritmi e mi sono imbattuto in questa (che non avevo mai visto).
Adesso, capisco la logica di questa $ log_(1/a) 1/b = log_a b $, visto che elevando l'1 a qualsiasi potenza, non cambia; ma quella in oggetto proprio non riesco a capire da dove l'hanno tirata fuori, potete scrivermi una dimostrazione per favore? Grazie mille
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Adesso, capisco la logica di questa $ log_(1/a) 1/b = log_a b $, visto che elevando l'1 a qualsiasi potenza, non cambia; ma quella in oggetto proprio non riesco a capire da dove l'hanno tirata fuori, potete scrivermi una dimostrazione per favore? Grazie mille
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Risposte
Dovresti avere chiaro che:
[tex]\left(a^b \right)^c = a^{bc} =\left(a^c \right)^b[/tex]
Per cui se indico con $x$:
$ x= log_[a^n] b^n $
scrivo che
[tex]\left(a^n \right)^x = b^n[/tex]
[tex]\left(a^x \right)^n = b^n[/tex]
faccio la radice ennesima a destra e sinistra
[tex]a^x = b[/tex]
quindi $x= \log_[a]b =\log_[a^n] b^n$
[tex]\left(a^b \right)^c = a^{bc} =\left(a^c \right)^b[/tex]
Per cui se indico con $x$:
$ x= log_[a^n] b^n $
scrivo che
[tex]\left(a^n \right)^x = b^n[/tex]
[tex]\left(a^x \right)^n = b^n[/tex]
faccio la radice ennesima a destra e sinistra
[tex]a^x = b[/tex]
quindi $x= \log_[a]b =\log_[a^n] b^n$
Ecco svelato l'arcano, adesso tutto ha un senso. Ti ringrazio
Puoi darne anche un'altra dimostazione, utilizzando la formula del cambiamento di base e le proprietà dei logaritmi:
$log_(a^n)b^n=(log_a b^n)/(log_a a^n)=(n log_a b)/n=log_a b$
$log_(a^n)b^n=(log_a b^n)/(log_a a^n)=(n log_a b)/n=log_a b$
Ti ringrazio, giammaria
In fondo:
se:
$a^x=b$ ne consegue che $(1/a)^x = 1/b$ e viceversa visto che se due numeri sono uguali lo sono anche i loro reciproci.
se:
$a^x=b$ ne consegue che $(1/a)^x = 1/b$ e viceversa visto che se due numeri sono uguali lo sono anche i loro reciproci.
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