Perchè $2\tan x$ non è la derivata di $tan^2 x$? E qual è se non quella?

[hellix08]

Dal quello che ho imparato la darivata prima di $x^n$ è uguale a $nx^{n-1}$ e questo si rivela corretto, per esempio la derivata di $x^2$ è $2x$. Ma allora perchè non posso idealmente sostituire $tan x$ ad $x$ e dire che la derivata di $tan^2 x$ è $2\tan x$? Qual è la derivata di $tan^2 x$?

[axpgn]

Mai sentito parlare di funzione composte e di derivate di tali funzioni? O di regola della catena?

[Ragazzo1231]

La derivata di una funzione $y=f(x)$ è il limite del rapporto incrementale per $h->0$
da qui se non ricordo male si ricavava la formula $f'(x)=lim_(h->0)((f(x+h)-f(x))/(h))$
grazie a questa definizione puoi ricavare la derivata di qualsiasi funzione.

un esempio facile facile:

la derivata della funzione $f(x)=x^2$ che tu ben sai essere $2x$ la puoi altrettanto ricavare con la formula sopraindicata.

$f'(x)=lim_(h->0)((f(x+h)-f(x))/(h))$

ricapitolando, questa formula per la funzione $f(x)=2x$ diventa:

$f'(x)=lim_(h->0)(((x+h)^2-x^2)/(h))=$

svolgiamo il quadrato di binomio:

$=lim_(h->0)((x^2+h^2+2hx-x^2)/(h))=$

cancelliamo le $x^2$ visto che la loro somma algebrica fa 0

$=lim_(h->0)((h^2+2hx)/(h))=$

ora raccolgo $h$

$=lim_(h->0)((h(h+2x))/(h))=$

$=lim_(h->0)(h+2x)=$

visto che $h->0$

$=lim_(h->0)(0+2x)= 2x$

Se non ricordo male questo procedimento poteva essere svolto per qualsiasi funzione, in modo da scoprirne la derivata...
qualcuno potrebbe pure correggermi, ma se provi a farlo con la funzione $f(x)=tan^2x$ dovresti riuscire a scoprire la sua derivata... in caso stessi sbagliando mi scuso, queste cose a scuola non le abbiamo mai approfondite e le ho imparate da solo...

[@melia]

Caro Ragazzo123, credo che calcolare la derivata di $tan^2 x$ utilizzando la definizione di derivata sia più complicato che calcolarla con il metodo delle funzioni composte, come suggerito da axpgn.

[sandroroma]

Come ti è stato giustamente fatto notare, quella è la derivata di una funzione composta. Tuttavia in questo caso puoi anche ottenerla applicando la definizione ( ma non ti illudere di poterlo fare sempre ! )
Ti ricordo unj pò di cose che sicuramente conosci:
$\tanp-\tanq=\frac{\sin(p-q)}{\cosp\cosq}, lim_{t->0}\frac{\sint}{t}=1, D(\tanx)=lim_{h->0}\frac{\tan(x+h)-\tanx}{h}=\frac{1}{\cos^2x}$
Si ha allora:
$D(\tan^2x)=lim_{h->0}\frac{\tan^2(x+h)-\tan^2x}{h}=lim_{h->0}{\tan(x+h)+\tanx}*lim_{h->0}\frac{\tan(x+h}-\tanx}{h}=$
$=2\tanxD(\tanx)=2\tanx*\frac{1}{\cos^2x}=\frac{2\tanx}{\cos^2x}$

[Ragazzo1231]

"@melia":Caro Ragazzo123, credo che calcolare la derivata di $tan^2 x$ utilizzando la definizione di derivata sia più complicato che calcolarla con il metodo delle funzioni composte, come suggerito da axpgn.

si si, ovvio ma volevo fargli notare che esistono diversi metodi oltre a quello descritto da axpgn.

[@melia]

"Ragazzo123":si si, ovvio ma volevo fargli notare che esistono diversi metodi oltre a quello descritto da axpgn.

D'accordo.