Per quale valore di k l'equazione rappresenta una circonferenza?

[jesuismoi]

x^2+y^2 -2kx+y-4=0

[BIT5]

L'equazione canonica della circonferenza e':

[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]

EDIT: Ho postato tutto il procedimento nei post successivi..

[jesuismoi]

si deve uscire per ogni valore di K...
e se invece fosse x^2+y^2+(k-2)x+ky-2=0 , deve uscire sempre per ogni valore di k, ma potresti spiegarmi il perchè...

[BIT5]

Allora: l'equazione della circonferenza e':

[math] x^2+y^2+ax+by+c [/math]

con

[math] a,b,c, \in \mathbb{R} [/math]

Pertanto affinche' un'equazione rappresenti una circonferenza, x^2 e y^2 devono avere stesso coefficiente.

Infatti, se ad esempio hai

[math] 3x^2+3y^2+2x+5y+7=0 [/math]

puoi dividere tutto per 3 ed hai l'equazione canonica della circonferenza

[math] x^2+y^2+ \frac23 x + \frac53 y + \frac73 = 0 [/math]

EDIT:Il resto della soluzione e' nel post successivo... Mancava un pezzo.

[jesuismoi]

ok...grazie mille!!!!!!!!!!!!!!!!! :D sei stato davvero molto gentile...

[BIT5]

un'ultima considerazione, che mi stava scappando..

Dal momento che il raggio della circonferenza e' dato da:

[math] r= \sqrt{ ( - \frac{a}{2} )^2 + (- \frac{b}{2} )^2 - c } [/math]

Devi anche considerare i valori per cui il raggio esiste (ovvero il radicando dev'essere > 0 )

quindi nel tuo secondo esempio:

[math] ( - \frac{k-2}{2} ) ^2 + ( - \frac{k}{2})^2 + 2 > 0 [/math]

Che, trattandosi di somma di quadrati a cui aggiungi ancora 2 e' sempre positivo..

Se avessi avuto, ad esempio,

[math] x^2+y^2+2(k+2)x+2kx+34=0 [/math]

allora avresti dovuto fare due considerazioni:

a) i coefficienti di x^2 e y^2 sono uguali? Si'
b) il raggio quando ha significato?

[math] r= \sqrt{ ( - \frac{2(k+2)}{2} )^2 + ( - \frac{2k}{2})^2-34} [/math]

Quindi devo considerare il radicando maggiore di zero (in senso stretto, perche' una circonferenza di raggio 0 e' degenere e corrisponde ad un punto)

[math] ( - \frac{2(k+2)}{2} )^2 + ( - \frac{2k}{2})^2-34>0 \\ \to k^2+4k+4+k^2-17>0 \to 2k^2+4k-30>0 \to k^2+2k-15>0 [/math]

A questo punto risolvi la disequazione di secondo grado e ottieni:

[math] (k-3)(k+5)>0 \to k3 [/math]

E pertanto hai una circonferenza per i valori di k che soddisfano la soluzione (ovvero k3 )

Scusa per questa dimenticanza :D

[samu2004boss]

ma scusate se mi aggiungo se invece bisognasse dire per quali valori di "k".

x^2+y^2-2kx+2(k+1)y-k+6=0

come si rappresenta la circonferenza??

grazie per la risposta

[Eylul97]

In questo caso devi procedere al calcolo del raggio, considerando che il raggio deve essere maggiore di zero. Verificando questa condizione allora ti calcoli i valori di k.

Aggiunto 32 secondi più tardi:

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