Per pietà qualcuno mi aiuti

[tony883]

1) l'ellisse di equazione x^2/9+y^2/4=1 ruota attorno all'asse x determinare il volume del solido.

2) disegnare la curva y=x^2-x^3 e determinare:
1)la misura dell'area della parte finita di piano S limitata dalla curva e dall'asse x
2)la misura del volume del solido generato dalla superficie S in una rotazione attorno all'asse delle x

3)disegnare la curva y=x^3-x^4 e determinare:
1)la misura dell'area della parte finita di piano S limitata dalla curva e dall'asse x
2)la misura del volume del solido generato dalla superficie S ruotando intorno all'asse delle x

4)disegnare la curva y=x(x-1)^2 e determinare:
1)la misura dell'area della parte finita di piano S limitata dalla curva e dall'asse x
2)la misura del volume del solido generato dalla superficie S ruotando intorno all'asse delle x

Si determinino le coordinate dei punti d'intersezione delle seguenti due curve e si calcoli la ,isura dell'area della parte di piano limitata dagli archi delle due curve che hanno per estremi i punti comuni che appartengono al 1° quadrante (eliminando la y tra le due equazioni si ottiene un ' equazione di terzo grado che ammette la soluzione...)

1) xy=8; 2y=-5x^2+21x

2) xy=1; 9y+x^2=13x

[jack110]

per il terzo (il secondo è analogo):
ti studi la positività della funzione: $y>=0$
cioè $-x^3*(x-1)>=0$ da cui la soluzione è:
$0<=x<=1$ adesso,in questo intervallo ti calcoli
$int_(0)^(1)x^3-x^4dx=[(x^4)/4-(x^5)/5]_(0)^1=1/4-1/5-0+0=1/20$...

ciao

[_nicola de rosa]

"tony883":1) l'ellisse di equazione x^2/9+y^2/4=1 ruota attorno all'asse x determinare il volume del solido.

2) disegnare la curva y=x^2-x^3 e determinare:
1)la misura dell'area della parte finita di piano S limitata dalla curva e dall'asse x
2)la misura del volume del solido generato dalla superficie S in una rotazione attorno all'asse delle x

3)disegnare la curva y=x^3-x^4 e determinare:
1)la misura dell'area della parte finita di piano S limitata dalla curva e dall'asse x
2)la misura del volume del solido generato dalla superficie S ruotando intorno all'asse delle x

4)disegnare la curva y=x(x-1)^2 e determinare:
1)la misura dell'area della parte finita di piano S limitata dalla curva e dall'asse x
2)la misura del volume del solido generato dalla superficie S ruotando intorno all'asse delle x

Si determinino le coordinate dei punti d'intersezione delle seguenti due curve e si calcoli la ,isura dell'area della parte di piano limitata dagli archi delle due curve che hanno per estremi i punti comuni che appartengono al 1° quadrante (eliminando la y tra le due equazioni si ottiene un ' equazione di terzo grado che ammette la soluzione...)

1) xy=8; 2y=-5x^2+21x

2) xy=1; 9y+x^2=13x

1)Le intersezioni con l'asse x di tale ellisse sono $x=+-3$ per cui
$V=pi*int_{-3}^{3}f^2(x)dx=pi*int_{-3}^{3}(4-4/9*x^2)dx=pi*[4x-4/27*x^3]_{-3}^{+3}$=
$pi*[12-4/27*27+12+4/27*(-27)]=16pi$
2)
$area=int_{0}^{1}(x^2-x^3)dx=[x^3/3-x^4/4]_{0}^{1}=1/3-1/4=1/12$ e
$Volume=pi*int_{0}^{1}(x^2-x^3)^2dx=pi*[x^5/5+x^7/7-x^6/3]_{0}^{1}=pi*(1/5+1/7-1/3)=pi/105$
3)
$area=int_{0}^{1}(x^3-x^4)dx=[x^4/4-x^5/5]_{0}^{1}=1/4-1/5=1/20$ e
$Volume=pi*int_{0}^{1}(x^3-x^4)^2dx=pi*[x^7/7+x^9/9-x^8/4]_{0}^{1}=pi*(1/7+1/9-1/4)=pi/252$
4)
$area=int_{0}^{1}x(x-1)^2dx=[x^4/4-2/3*x^3+x^2/2]_{0}^{1}=1/4-2/3+1/2=1/12$ e
$volume=pi*int_{0}^{1}(x(x-1)^2)^2dx=pi/105$
Ti rispondo sull'ultimo:
1)$y=8/x$ e $2y=-5x^2+21x$ da cui $16/x=-5x^2+21x$ cioè $5x^3-21x^2+16=0$ cioè $(x-1)(5x^2-16x-16)=0$ ed ancora
$5(x-1)(x+4/5)(x-4)=0$ $<=>$ $x_1=1$,$x_2=-4/5$, $x_3=4$. Nel primo quadrante cadono $x_1$ ed $x_3$ per cui i punti di intersezione nel primo quadrante sono $(1,8)$ e $(4,2)$ e l'area sarà
$Area=int_{1}^{4}(-5/2*x^2+21/2*x-8/x)dx=[-5/6*x^3+21/4*x^2-8ln|x|]_{1}^{4}=[-5/6*64+21/4*16-8ln4+5/6-21/4]$
=$105/4-8ln4$
2)$y=1/x$ e $9y+x^2=13x$ implica $9/x+x^2=13x$ cioè $x^3-13x^2+9=0$. Le intersezioni nel primo quadrante si trovano numericamente e sono $x_1=12.95$ ed $x_2=0.86$ per cui $area=int_{0.86}^{12.95}((13x-x^2)/9-1/x)dx=[13/18*x^2-1/27*x^3-ln|x|]_{0.86}^{12.95}=37.46