Per favore, spiegazione procedimento di 2 problemi di geometria analitca

[vrijheid]

Potreste spiegarmi, per favore, il procedimento per risolvere questi 2 problemi? Grazie mille a tutti!

-Dare un'equazione parametrica della retta d'intersezione
dei piani alfa: r = (3,1,2)+u(1,0,0)+v(0,1,1) ;
beta: r = (4,2,0)+u(0,2,-1)+v(0,0,1)

-Dare un’equazione parametrica della retta d’intersezione dei piani che passano per i punti A(6,4,7), B(9,2,9), C(1,7,0) e per i punti P(2,2,4), Q(6,13,4), R(1,3,7)

[bimbozza]

Probabilmente c'è un modo più semplice, ma tra quelli che mi ricordo questo forse è quello più facilmente comprensibile:

-porti i piani in forma cartesiana (te l'ho spiegato nell'altro post come si fa) ed ottieni y-z+1=0 e x=4
la retta intersezione in forma cartesiana è quindi

[math]\left{
x=4\\
y-z+1=0[/math]

che è un sistema con 2 equazioni e 3 incognite. Assumi una incognita come parametro (prendi o y=t o z=t, visto che la x è ben definita) ed ottieni, per esempio scegliendo z=t

[math]\left{
x=4\\
y=t-1\\
z=t[/math]

-------------------------------------------------------------------
un piano per 3 punti: hai fatto le matrici? perchè un modo molto semplice per trovare un piano per 3 punti è risolvere

[math]\begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\\end{vmatrix}[/math]

=0

cioè, per il primo piano

[math]\begin{vmatrix}x-6&y-4&z-7\\9-6&2-4&9-7\\\1-6&7-4&0-7\\\end{vmatrix}[/math]

=0

Fammi sapere se avete fatto le matrici, sennò te lo spiego con i sistemi, ma viene leggermente più lungo.

Dopo aver trovato i due piani in forma cartesiana, procedi come nell'esercizio precedente: li metti in sistema, assegni un parametro ad una variabile e ricavi la retta parametrica.

[vrijheid]

No purtroppo le matrici non le abbiamo ancora fatte...

[bimbozza]

allora te lo spiego con i sistemi: un piano ha equazione generica ax+by+cz+d=0

Imponiamo il passaggio per A(6,4,7), B(9,2,9), C(1,7,0) sostituendo le coordinate dei punti nel piano
per A: 6a+4b+7c+d=0
per B: 9a+2b+9c+d=0
per C: a+7b+d=0

queste tre equazioni formano un sistema:

[math]\left{
6a+4b+7c+d=0\\
9a+2b+9c+d=0\\
a+7b+d=0
[/math]

[math]\left{
d=-6a-4b-7c\\
9a+2b+9c-6a-4b-7c=0\\
a+7b-6a-4b-7c=0
[/math]

[math]\left{
d=-6a-4b-7c\\
3a-2b+2c=0\\
-5a+3b-7c=0
[/math]

[math]\left{
d=-6a-4b-7(-3a/2+b)\\
c=-3a/2+b\\
-5a+3b-7(-3a/2+b)=0
[/math]

[math]\left{
d=9a/2 -11b\\
c=-3a/2+b\\
11a/2-4b=0
[/math]

[math]\left{
d=9a/2 -11*11a/ 8 \\
c=-3a/2+11a/8\\
b=11a/8
[/math]

[math]\left{
d=-85a/8\\
c=-a/8\\
b=11a/8
[/math]

quindi il primo piano è

[math]ax+\frac{11ay}{8}-\frac{az}{8}-\frac{85a}{8}=0[/math]

e dividendo tutto per a/8 trovo

[math]8x+11y-z-85=0[/math]

Prova a far da te l'altro piano... per ogni problema sono qui

[vrijheid]

Oky, grazie mille ancora per il tuo aiuto! Adesso provo

Aggiunto 40 minuti più tardi:

Ecco, ho provato a determinare anche l'altro piano.
Ê possibile questa soluzione? beta: 11x-4y+5z-34=0

Però il problema mi chiede di dare un'equazione parametrica della retta...Quindi è giusto fare il sistema tra i 2 piani, e per scegliere l'incognita per il parametro "t", va bene sia x, sia y, sia z?

Grazie!

Aggiunto 11 minuti più tardi:

Ho trovato l'equazione parametrica della retta, con la condizione x=t.
Risolvendo, ho trovato il risultato: i(retta) : (0,9,14)+t(1,-1,-3).

Pensi sia giusto? Grazie!

[bimbozza]

Bravissima, e tutto giusto!

[vrijheid]

Perfetto, sono contentissima! Senza il tuo aiuto non ci sarei riuscita, grazie tante ancora!
Quindi allora va bene qualsiasi incognita per t?

[bimbozza]

in generale sì... poi, se ti trovi come nell'esercizio precedente, una variabile = ad un valore (come prima avevamo x=4) allora è ovvio che sarà una delle altre due variabili ad essere posta =t, visto che quella ha già un valore definito...

[vrijheid]

Scusami, volevo chiederti ancora un'altra cosa per il problema:
"Dare un'equazione parametrica della retta d'intersezione
dei piani alfa: r = (3,1,2)+u(1,0,0)+v(0,1,1) ;
beta: r = (4,2,0)+u(0,2,-1)+v(0,0,1)"

Come equazioni dei piani cercati, nel primo caso (y-z+1=0) e nel secondo (x=4),
bisogna scegliere queste 2 semplicemente perchè non sono presenti i parametri u e v? Quindi per il secondo piano " beta: r = (4,2,0)+u(0,2,-1)+v(0,0,1)" praticamente non devo eliminare o mettere in evidenza u e v perchè ho già pronto x=4?

Grazie!

[bimbozza]

in generale, quando vuoi passare da un piano in forma parametrica ad uno in forma cartesiano devi ricavarti da un'equazione u dall'altra v ed inserirla nella terza equazione che ti darà il piano cercato.
Nel primo piano, hai questa situazione

[math]\left{
u=x-3\\
v=y-1\\
z=2+y-1[/math]

Nel secondo piano,

[math]\left{
x=4\\
y=2+2u\\
z=-u+v[/math]

dalla seconda e dalla terza puoi ricavarti u e v ma poi dovrai inserire i valori nell' equazione rimasta, che come ben vedrai non contiene ne u ne v quindi rimane x=4

[vrijheid]

Okay grazie, adesso è chiaro.

Scusami, ho provato a finire il problema che mi avevi spiegato ""Trovare l'intersezione del piano alfa:3x-y-7z+9=0 con il piano beta
descritto dall'asse x e dal punto K(3,2,-5)."

Mi ha scritto di mettere a sistema i 2 piani 3x-y-7z+9=0 e 5y+2z=0.
Volevo chiederti se è giusto porre x=t...
Così ottengo la soluzione: g(retta) : (0,-105/11,15/11)+t(1,-2/11,5/11)

Grazie!

[bimbozza]

se la vuoi in forma parametrica sì, metti pure x=t (o una delle altre 2 variabili, come vuoi) se la vuoi in forma cartesiana la puoi lasciare così come intersezioni di 2 piani....

[vrijheid]

Okay, grazie mille di tutto!
Spero mi potrai aiutare anche in altri problemi!

[bimbozza]

Se mi riescono, ti aiuto di certo... purtroppo, come ti ho già detto, sono molto arrugginita su questi argomenti...