Per favore, spiegazione procedimento 3 problemi di geometria analitica
Vorrei veramente capire il procedimento...Grazie a tutti!
-Una piramide ha come base il triangolo A(4,-1,3), B(2,1,5), C(-1,-2,0) e vertice V(0,-5,5). Calcolare le coordinate del punto V', simmetrico di V rispetto al piano ABC.
-È data una retta r passante per i punti A(10,8,-8 ) e B(9,4,-7);
sono inoltre dati la sua parallela g passante per C(0,4,2) e il punto P(4,-8,-6). Calcolare le coordinate del punto E, equidistante dalle rette r e g e a distanza minima dal punto P.
-Determinare il volume del tetraedro delimitato dai piani 6x-9y-2z+18=0, xy,yz,xz.
-Una piramide ha come base il triangolo A(4,-1,3), B(2,1,5), C(-1,-2,0) e vertice V(0,-5,5). Calcolare le coordinate del punto V', simmetrico di V rispetto al piano ABC.
-È data una retta r passante per i punti A(10,8,-8 ) e B(9,4,-7);
sono inoltre dati la sua parallela g passante per C(0,4,2) e il punto P(4,-8,-6). Calcolare le coordinate del punto E, equidistante dalle rette r e g e a distanza minima dal punto P.
-Determinare il volume del tetraedro delimitato dai piani 6x-9y-2z+18=0, xy,yz,xz.
Risposte
per prima cosa calcoliamo il piano per A, B,C (qui non dovresti aver problemi) e questo risulta x+4y-3z+1=0.
Adesso dobbiamo trovare la il punto V' cioè quel punto che si trova sulla retta perpendicolare al piano che il cui punto medio con V si trovi sul piano stesso.
Quindi, per prima cosa scriviamo la normale al piano passante per V.
Adesso, detto x,y,z le coordinate del punto V' esprimiamo la condizione di appartenenza al piano del punto medio di V'V.
dovendo valere entrambe le condizioni si ha
ed inserendo il risultato nell'equazione della retta si trovano le coordinate di V'
-------------------------------------------------------------
retta r:
E si troverà su una retta che si trova a metà tra g e r (=>parallela ad esse) e, dovendo avere distanza minima da P, avremo che coinciderà con la proiezione di P sulla retta.
prendiamo un punto a caso della retta r, ad esempio A. il punto medio M di AC sarà su questa retta che passa per E.
M è (5,6,-3).
quindi la retta s che passa per E e per M ed è parallela a r:
E sarà l'intersezione tra il piano passante per P e ortogonale alla retta s e la retta s stessa. Ce la fai a continuare da te?
-------------------------------------------------------------------
devi trovare le intersezioni tra i vari piani in modo da riuscire a calcolarti i vertici del tuo tetraedro. una volta trovati verifica se sia regolare (tutti gli spigoli devono avere la stessa misura). Se lo è il volume è
Adesso dobbiamo trovare la il punto V' cioè quel punto che si trova sulla retta perpendicolare al piano che il cui punto medio con V si trovi sul piano stesso.
Quindi, per prima cosa scriviamo la normale al piano passante per V.
[math]\left{
x=+t\\
y=-5+4t\\
z=5-3t\\[/math]
x=+t\\
y=-5+4t\\
z=5-3t\\[/math]
Adesso, detto x,y,z le coordinate del punto V' esprimiamo la condizione di appartenenza al piano del punto medio di V'V.
[math](\frac{x+0}{2}+4(\frac{y-5}{2})-3(\frac{z+5}{2})+1=0[/math]
dovendo valere entrambe le condizioni si ha
[math](\frac{t}{2}+4(\frac{-5+4t-5}{2})-3(\frac{5-3t+5}{2})+1=0[/math]
[math](\frac{t}{2}+4(\frac{-10+4t}{2})-3(\frac{-3t+10}{2})+1=0[/math]
[math]t-40t+16+9t-30+2=0[/math]
[math]t=-2/5[/math]
ed inserendo il risultato nell'equazione della retta si trovano le coordinate di V'
[math]\left{
x=-2/5\\
y=-5+4(-2/5)=-33/5\\
z=5-3(-2/5)=31/5\\[/math]
x=-2/5\\
y=-5+4(-2/5)=-33/5\\
z=5-3(-2/5)=31/5\\[/math]
-------------------------------------------------------------
retta r:
[math]\left{
x=10-t\\
y=8-4t\\
z=-8+t
[/math]
x=10-t\\
y=8-4t\\
z=-8+t
[/math]
E si troverà su una retta che si trova a metà tra g e r (=>parallela ad esse) e, dovendo avere distanza minima da P, avremo che coinciderà con la proiezione di P sulla retta.
prendiamo un punto a caso della retta r, ad esempio A. il punto medio M di AC sarà su questa retta che passa per E.
M è (5,6,-3).
quindi la retta s che passa per E e per M ed è parallela a r:
[math]\left{
x=5-t\\
y=6-4t\\
z=-3+t
[/math]
x=5-t\\
y=6-4t\\
z=-3+t
[/math]
E sarà l'intersezione tra il piano passante per P e ortogonale alla retta s e la retta s stessa. Ce la fai a continuare da te?
-------------------------------------------------------------------
devi trovare le intersezioni tra i vari piani in modo da riuscire a calcolarti i vertici del tuo tetraedro. una volta trovati verifica se sia regolare (tutti gli spigoli devono avere la stessa misura). Se lo è il volume è
[math]V=\frac{a^3 \sqrt2}{12}[/math]
dove a è la misura di un lato.
Grazie mille ancora! Dopo provo a risolverli, e se c'è qualcosa che
non capisco ti faccio sapere...
Ah, in un altro post ti avevo scritto se sapevi come risolvere
quel problema di determinare l'equazione della circonferenza che era tangente alle 3 rette, con un metodo in cui si usavano le bisettrici...
Fammi sapere!
non capisco ti faccio sapere...
Ah, in un altro post ti avevo scritto se sapevi come risolvere
quel problema di determinare l'equazione della circonferenza che era tangente alle 3 rette, con un metodo in cui si usavano le bisettrici...
Fammi sapere!
nel pomeriggio vedo se riesco a farti sbloccare il post e te lo scrivo lì, sennò per pm...
Ciao Stefania!
Per il primo problema (-Una piramide ha come base il triangolo A(4,-1,3), B(2,1,5), C(-1,-2,0) e vertice V(0,-5,5). Calcolare le coordinate del punto V', simmetrico di V rispetto al piano ABC.), mi sa che c'è un errore di calcolo nel trovare la t...a me esce "t-20+16t-20-15+9t-15+1=0" e quindi ho trovato t=69/26. Quindi V'(69/26,73/13,-77/26).
Poi volevo chiederti se è giusto anche questo metodo per risolverlo:
dopo che trovo la retta normale al piano, ho pensato di fare l'intersezione con il piano, e quindi trovo il punto medio di V e V'(M). Poi per trovare V', potrei calcolare il vettore VM e uguagliarlo al vettore MV', e quindi ottengo le coordinate di V'.... Secondo te è giusto?
Grazie!
Aggiunto 19 minuti più tardi:
Per il secondo penso di aver capito, a parte una cosa...Trovo il piano passante per P e ortogonale alla retta s, però come posso metterli per formare l'equazione? Cioè, devo usare le coordinate di P e anche il vettore della retta s (-1,-4,1)? Ma se uso quel vettore, dopo non viene parallela?
Fammi sapere, grazie mille!
Per il primo problema (-Una piramide ha come base il triangolo A(4,-1,3), B(2,1,5), C(-1,-2,0) e vertice V(0,-5,5). Calcolare le coordinate del punto V', simmetrico di V rispetto al piano ABC.), mi sa che c'è un errore di calcolo nel trovare la t...a me esce "t-20+16t-20-15+9t-15+1=0" e quindi ho trovato t=69/26. Quindi V'(69/26,73/13,-77/26).
Poi volevo chiederti se è giusto anche questo metodo per risolverlo:
dopo che trovo la retta normale al piano, ho pensato di fare l'intersezione con il piano, e quindi trovo il punto medio di V e V'(M). Poi per trovare V', potrei calcolare il vettore VM e uguagliarlo al vettore MV', e quindi ottengo le coordinate di V'.... Secondo te è giusto?
Grazie!
Aggiunto 19 minuti più tardi:
Per il secondo penso di aver capito, a parte una cosa...Trovo il piano passante per P e ortogonale alla retta s, però come posso metterli per formare l'equazione? Cioè, devo usare le coordinate di P e anche il vettore della retta s (-1,-4,1)? Ma se uso quel vettore, dopo non viene parallela?
Fammi sapere, grazie mille!
per il primo hai ragione... invece di scrivere -40t+16 ho scritto -40+16t...errore mio, chiedo scusa...
per l'altro metodo, come ragionamento è giusto... l'unica cosa è vedere se i calcoli ti risultano più semplici... prova e confronta...
per il secondo il procedimento è questo: un piano generico ha equazione
ax+by+cz+d=0.
un piano che è perpendicolare alla retta che ha (-1,-1,1) per direzione ha equazione -x-y+z+d=0 perchè la retta s è parallela alla normale al piano (non al piano, mi sà che qui ti stavi confondendo un po')... adesso per trovare d basta inserire l'equazione del punto per cui deve passare il piano...
per l'altro metodo, come ragionamento è giusto... l'unica cosa è vedere se i calcoli ti risultano più semplici... prova e confronta...
per il secondo il procedimento è questo: un piano generico ha equazione
ax+by+cz+d=0.
un piano che è perpendicolare alla retta che ha (-1,-1,1) per direzione ha equazione -x-y+z+d=0 perchè la retta s è parallela alla normale al piano (non al piano, mi sà che qui ti stavi confondendo un po')... adesso per trovare d basta inserire l'equazione del punto per cui deve passare il piano...
Oky grazie mille, dopo provo...
Ah poi volevo chiederti una cosa...oggi il professore ci ha finalmente
dato le soluzioni degli esercizi, però per alcuni problemi ho ottenuto risultati diversi...
Per esempio..ti ricordi il problema di trovare l'equazione della circonferenza che era tangente alle 3 rette? Nelle soluzioni, il professore ha scritto solo (x-3) ^2 + ( y-2)^2=10 (che penso sia equivalente alla tua soluzione, x^2+y^2-6x-4y+3 = 0), e non ha tenuto conto delle altre possibili circonferenze...Ma comunque è giusto ottenere 4 equazioni?
Poi per "determinare equazione della circonferenza passante per P(2,5) e tangente alle rette 3x-y+3= 0 e x-3y-7= 0" io ho ottenuto un'unica soluzione (x-3)^2+(y-2)^2=10, mentre nelle soluzioni del prof abbiamo anche la soluzione (x-8 )^2+(y-7)^2=40...Ma non dovrebbe essere soltanto un'unica soluzione?
E queste 2 equazioni sono equivalenti? (x-95/18 )^2+(y-95/18 )^2= 8125/162 con x^2 + y^2-95/9x-95/9y+50/9= 0
E queste? (x+1/2)^2+(y+1/2)^2=13/2 con x^2+y^2+x+y-6=0
Grazie veramente
Ah poi volevo chiederti una cosa...oggi il professore ci ha finalmente
dato le soluzioni degli esercizi, però per alcuni problemi ho ottenuto risultati diversi...
Per esempio..ti ricordi il problema di trovare l'equazione della circonferenza che era tangente alle 3 rette? Nelle soluzioni, il professore ha scritto solo (x-3) ^2 + ( y-2)^2=10 (che penso sia equivalente alla tua soluzione, x^2+y^2-6x-4y+3 = 0), e non ha tenuto conto delle altre possibili circonferenze...Ma comunque è giusto ottenere 4 equazioni?
Poi per "determinare equazione della circonferenza passante per P(2,5) e tangente alle rette 3x-y+3= 0 e x-3y-7= 0" io ho ottenuto un'unica soluzione (x-3)^2+(y-2)^2=10, mentre nelle soluzioni del prof abbiamo anche la soluzione (x-8 )^2+(y-7)^2=40...Ma non dovrebbe essere soltanto un'unica soluzione?
E queste 2 equazioni sono equivalenti? (x-95/18 )^2+(y-95/18 )^2= 8125/162 con x^2 + y^2-95/9x-95/9y+50/9= 0
E queste? (x+1/2)^2+(y+1/2)^2=13/2 con x^2+y^2+x+y-6=0
Grazie veramente
1)a meno che il testo non dica che, oltre ad essere tangente, la circonferenza è racchiusa dalle rette, hai 4 soluzioni...
2)son giuste 2...
sia per il primo che per il secondo, prova a fare un disegno e vedrai che ho ragione...
3) e 4) sono equivalenti...se non ci credi, svolgi i quadrati
2)son giuste 2...
sia per il primo che per il secondo, prova a fare un disegno e vedrai che ho ragione...
3) e 4) sono equivalenti...se non ci credi, svolgi i quadrati
2)Il bello è che l'avevamo svolto con un professore e avevamo ottenuto un'unica soluzione...
Aggiunto 3 minuti più tardi:
Scusami, ma chi non è iscritto al forum può vedere le domande e le risposte scambiate tra utenti?
Aggiunto 3 minuti più tardi:
Scusami, ma chi non è iscritto al forum può vedere le domande e le risposte scambiate tra utenti?
strano... ^.^ comunque, ti tornano ora?
Aggiunto 2 minuti più tardi:
chi non è iscitto può vedere ma non intervenire
Aggiunto 2 minuti più tardi:
chi non è iscitto può vedere ma non intervenire
Anche dopo che ho scelto la miglior risposta e quindi bloccato il post?
Perchè una volta mi era stato bloccato l'accesso al forum proprio perchè non ero iscritta, e quindi non potevo veder la risoluzione di un problema...
Comunque sto provando a risolverli...Ho trovato un errore anche in questo: trovare equazione circonferenza circoscritta al triangolo di vertici A(6,-7), B(-8,-7) e C(4,5)...Risolvendo abbiamo ottenuto (x+1)^2+(y+2)^2=74 (con a=2,b=4 e c= -69), però nelle soluzioni della classe esce (x+1)^2+y^2=98...Ho provato a rifarlo un'altra volta, ma ottengo sempre il mio risultato...Saranno sbagliate le soluzioni?
Perchè una volta mi era stato bloccato l'accesso al forum proprio perchè non ero iscritta, e quindi non potevo veder la risoluzione di un problema...
Comunque sto provando a risolverli...Ho trovato un errore anche in questo: trovare equazione circonferenza circoscritta al triangolo di vertici A(6,-7), B(-8,-7) e C(4,5)...Risolvendo abbiamo ottenuto (x+1)^2+(y+2)^2=74 (con a=2,b=4 e c= -69), però nelle soluzioni della classe esce (x+1)^2+y^2=98...Ho provato a rifarlo un'altra volta, ma ottengo sempre il mio risultato...Saranno sbagliate le soluzioni?
concordo con a=2 b=4 e c=-69... anche perchè se vai a sostituire C nell'equazione (x+1)^2+y^2=98 trovi che non è vera, quindi quel punto non appartiene alla circonferenza...
Strano che non te l'abbia fatto vedere...mi sono anche sloggata e sono entrata nel forum per controllare, ma mi fa vedere le risposte...
Strano che non te l'abbia fatto vedere...mi sono anche sloggata e sono entrata nel forum per controllare, ma mi fa vedere le risposte...
Sicura? Neanche bloccando il post con la miglior risposta?
Comunque grazie per la risposta, chiederò in questi giorni :)
Aggiunto 3 minuti più tardi:
E la stessa cosa vale anche per i messaggi? Gli utenti non registrati possono leggerli?
Comunque grazie per la risposta, chiederò in questi giorni :)
Aggiunto 3 minuti più tardi:
E la stessa cosa vale anche per i messaggi? Gli utenti non registrati possono leggerli?
Più che controllare uscendo dal mio account non sò che dirti ^.^
Comunque non è che forse hai sbagliato a scrivere il punto C? perchè sennò puoi star sicura che la soluzione in classe è sbagliata...
Aggiunto 4 minuti più tardi:
i pm possono vederli solo chi è registrato... nn essendo una questione didattica, se hai altre domande ne parliamo per pm ^.^
Comunque non è che forse hai sbagliato a scrivere il punto C? perchè sennò puoi star sicura che la soluzione in classe è sbagliata...
Aggiunto 4 minuti più tardi:
i pm possono vederli solo chi è registrato... nn essendo una questione didattica, se hai altre domande ne parliamo per pm ^.^
Sisi sono sicura, il punto C è (4,5)...Magari è sbagliata quella del prof...
Se è così allora é SICURAMENTE sbagliata quella del prof... come ti ho detto, se la circonferenza è circoscritta al triangolo, quei punti devono appartenere alla circonferenza stessa... e C non appartiene alla circonferenza che ti ha dato il professore come risposta... infatti
[math](4+1)^2+5^2=50 \not=98[/math]
Si hai ragione, allora glielo dirò...
Grazie, adesso provo a fare quello con 2 soluzioni, sperando che esca :D
Aggiunto 1 ora 7 minuti più tardi:
Okay adesso esce, colpa mia ahah
Grazie, adesso provo a fare quello con 2 soluzioni, sperando che esca :D
Aggiunto 1 ora 7 minuti più tardi:
Okay adesso esce, colpa mia ahah
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