Per favore, procedimento per risolvere questo problema di geometria analitica

[vrijheid]

Vorrei veramente capire il procedimento...Grazie a tutti!

-Determinare l'equazione della circonferenza che è tangente alle rette
3x-y+3=0 , x-3y-7=0, x+3y-19=0

[bimbozza]

in realtà, date 3 rette, abbiamo 4 possibili circonferenze tangenti...


come al solito, mettiamo in sistema di volta in volta la circonferenza generica con la retta ed imponiamo la tangenza ponendo il delta=0

Prima retta:

[math]\left{
x^2+y^2+ax+by+c=0\\
3x-y+3=0[/math]

[math]\left{
x^2+9x^2+9+18x+ax+3xb+3b+c=0\\
y=3x+3[/math]

[math]\left{
10x^2+9+18x+ax+3xb+3b+c=0\\
y=3x+3[/math]

[math]\Delta=a^2+6ab+36a+9b^2-12b-40c-36=0[/math]

Seconda retta:

[math]\left{
x^2+y^2+ax+by+c=0\\
x-3y-7=0[/math]

[math]\left{
9y^2+49+42y+y^2+3ay+7a+yb+c=0\\
x=3y+7[/math]

[math]\left{
10y^2+49+42y+3ay+7a+yb+c=0\\
x=3y+7[/math]

[math]\Delta=9a^2+6ab-28a+b^2+84b-40c-196=0[/math]

Terza retta:

[math]\left{
x^2+y^2+ax+by+c=0\\
x+3y-19=0[/math]

[math]\left{
9y^2+361-114y+y^2+19a-3ay+by+c=0\\
x=-3y+19[/math]

[math]\left{
10y^2+361-114y+19a-3ay+by+c=0\\
x=-3y+19[/math]

[math]\Delta=9a^2-6ab-76a+b^2-228b-40c-1444=0[/math]

Facciamo un sistema con le nostre 3 condizioni:

[math]\left{
a^2+6ab+36a+9b^2-12b-40c-36=0\\
9a^2+6ab-28a+b^2+84b-40c-196=0\\
9a^2-6ab-76a+b^2-228b-40c-1444=0
[/math]

[math]\left{
40c=a^2+6ab+36a+9b^2-12b-36\\
40c=9a^2+6ab-28a+b^2+84b-196\\
40c=9a^2-6ab-76a+b^2-228b-1444
[/math]

[math]\left{
40c=9a^2+6ab-28a+b^2+84b-196\\
a^2+6ab+36a+9b^2-12b-36=9a^2+6ab-28a+b^2+84b-196\\
9a^2+6ab-28a+b^2+84b-196=9a^2-6ab-76a+b^2-228b-1444
[/math]

[math]\left{
40c=9a^2+6ab-28a+b^2+84b-196\\
-8a^2+64a+8b^2-96b+160=0\\
12ab+48a+312b+1248=0
[/math]

[math]\left{
40c=9a^2+6ab-28a+b^2+84b-196\\
-8a^2+64a+8b^2-96b+160=0\\
12ab+48a+312b+1248=0
[/math]

[math]\left{
40c=9a^2+6ab-28a+b^2+84b-196\\
a^2-8a-b^2+12b-20=0\\
ab+4a+26b+104=0
[/math]

[math]\left{
40c=9a^2+6ab-28a+b^2+84b-196\\
(a-4)^2-(b-6)^2=0\\
a(b+4)+26(b+4)=0
[/math]

[math]\left{
40c=9a^2+6ab-28a+b^2+84b-196\\
(a-b+2)(a+b-10)=0\\
(b+4)(a+26)=0
[/math]

quindi, per b=-4 abbiamo a=-6 e a=14 quindi si hanno 2 soluzioni:
b=-4,a=-6,c=3 e
b=-4, a=14, c=13

per a=-26 abbiamo b=-24 e b=36 quindi si hanno altre 2 soluzioni
a=-26,b=-24,c=223
a=-26,b=36, c=133

per trovare l'equazione delle 4 circonferenze basta sostituire di volta in volta i valori trovati alla circonferenza generica.
:hi

[vrijheid]

Grazie mille ancora!

[bimbozza]

Di niente ^.^

Stefania

[vrijheid]

Scusami Stefania, magari la domanda è un po' stupida, però riguardando la parte finale non ho capito un passaggio:

Da questo passaggio....
(a-4)^2 -(b-6)^2=0
a(b+4)+26(b+4)=0

...come fa a diventare così?

(a-b+2)*(a+b-10)=0
(b+4)*(a+26)=0

Grazie!

[bimbozza]

tranquilla...
il primo è una differenza di quadrati... quindi

[math](a-4)^4-(b-6)^2=(a-4-b+6)(a-4+b-6) =(a-b+2)(a+b-10)[/math]

il secondo è un raccoglimento parziale...

Capito ora?

[vrijheid]

Ah oky sì, del raccoglimento parziale mi ricordo, però la differenza di quadrati non mi sembra che l'avevamo vista...

[bimbozza]

sicura? perchè che io sappia si fa in tutte le classi... generalmente nella teoria viene scritta come

[math]A^2-B^2=(A-B)(A+B)[/math]

[vrijheid]

Ah okay sisi, in questa forma l'abbiamo fatta, scusami non riuscivo molto bene a riconoscerla in forma (a-4)^2-(b-6)^2...pensavo più a dei prodotti notevoli.
Grazie del chiarimento!