Per favore, Domande su derivate
1) Dimostrare che ogni tangente alla curva di equazione y=4-3x-x^3 forma un angolo ottuso con la direzione positiva dell'asse x.
Io ho provato a trovare la derivata di y:
y ' =-3-3x^2 = -3(x^2+1)
Poi però non saprei come andare avanti... La soluzione è y ' < 0 (con tutte le x appartenenti all'insieme R), ma non riesco a capire...
2) Avrei una domanda per la derivata di questa funzione: f(x) = ln(2x^2+3x-5)+ln(x-1)-ln(2x+5)
Ho provato a risolverla scrivendola nella forma: 1/(2x^2+3x-5) * (4x+3) + 1/(x-1)*(1-0) - 1/(2x+5)*(2+0)
(cioè facendo prima le derivate di ln e moltiplicandole per le derivate delle funzioni all'interno delle parentesi).
Ottengo (4x+10)/(x-1)*(2x+5), mentre la soluzione è 4x/(x-1)*(2x+5)... È sbagliato forse il primo passaggio?
a) E per la derivata di f(x)= log1/2 (x) + log1/4 (x) + log3/4 (x) come devo procedere?
Devo scrivere solo le derivate dei logaritmi e poi sommarle ?
Grazie mille
Io ho provato a trovare la derivata di y:
y ' =-3-3x^2 = -3(x^2+1)
Poi però non saprei come andare avanti... La soluzione è y ' < 0 (con tutte le x appartenenti all'insieme R), ma non riesco a capire...
2) Avrei una domanda per la derivata di questa funzione: f(x) = ln(2x^2+3x-5)+ln(x-1)-ln(2x+5)
Ho provato a risolverla scrivendola nella forma: 1/(2x^2+3x-5) * (4x+3) + 1/(x-1)*(1-0) - 1/(2x+5)*(2+0)
(cioè facendo prima le derivate di ln e moltiplicandole per le derivate delle funzioni all'interno delle parentesi).
Ottengo (4x+10)/(x-1)*(2x+5), mentre la soluzione è 4x/(x-1)*(2x+5)... È sbagliato forse il primo passaggio?
a) E per la derivata di f(x)= log1/2 (x) + log1/4 (x) + log3/4 (x) come devo procedere?
Devo scrivere solo le derivate dei logaritmi e poi sommarle ?
Grazie mille
Risposte
"Lara_16":
1) Dimostrare che ogni tangente alla curva di equazione $y=4-3x-x^3$ forma un angolo ottuso con la direzione positiva dell'asse x.
Io ho provato a trovare la derivata di y:
$y ' =-3-3x^2 = -3(x^2+1)$
Poi però non saprei come andare avanti... La soluzione è $y ' < 0$ (con tutte le x appartenenti all'insieme R), ma non riesco a capire...
2) Avrei una domanda per la derivata di questa funzione: $f(x) = ln(2x^2+3x-5)+ln(x-1)-ln(2x+5)$
Ho provato a risolverla scrivendola nella forma: $1/(2x^2+3x-5) * (4x+3) + 1/(x-1)*(1-0) - 1/(2x+5)*(2+0)$
(cioè facendo prima le derivate di ln e moltiplicandole per le derivate delle funzioni all'interno delle parentesi).
Ottengo $(4x+10)/(x-1)*(2x+5)$, mentre la soluzione è $4x/(x-1)*(2x+5)$... È sbagliato forse il primo passaggio?
a) E per la derivata di $f(x)= log_(1/2) (x) + log_(1/4) (x) + log_(3/4) (x)$ come devo procedere?
Devo scrivere solo le derivate dei logaritmi e poi sommarle ?
Grazie mille
Ho solo riportato il tuo testo mettendo le formule da te correttamente scritte tra due simboli di dollaro $. Per scrivere le formule ti consiglio di leggere qui come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html.
Ora veniamo al dunque. Per quanto riguarda il primo esercizio: per formare con il semiasse positivo delle x un angolo ottuso, ossia maggiore di $90$ gradi, dobbiamo imporre che la derivata prima della funzione sia minore di 0. Ossia che $-3x^2-3<0$, che porta a $3x^2> -3$ che è sempre verificata per ogni $x$.
Per quanto riguarda il secondo il primo passaggio mi sembra corretto, poi ti faccio vedere cosa viene a me:
$(4x+3)/(2x^2+3x-5) + 1/(x-1) - 2/(2x+5)$
$(4x+3)/((2x+5)(x-1))+1/(x-1)-2/(2x+5)$
$(4x+3+2x+5-2x+2)/((2x+5)(x-1))$
$(4x+10)/((2x+5)(x-1))$
$(2(2x+5))/((2x+5)(x-1))$
$2/(x-1)$
Per il terzo ricordiamo che la derivata di $log_a(x)$ è uguale a $1/(xlna)$. Quindi nel tuo caso il primo logaritmo viene $1/(xln(1/2))$, lascio a te svolgere i successivi.
Per quanto riguarda il secondo il primo passaggio mi sembra corretto, poi ti faccio vedere cosa viene a me:
$(4x+3)/(2x^2+3x-5) + 1/(x-1) - 2/(2x+5)$
$(4x+3)/((2x+5)(x-1))+1/(x-1)-2/(2x+5)$
$(4x+3+2x+5-2x+2)/((2x+5)(x-1))$
$(4x+10)/((2x+5)(x-1))$
$(2(2x+5))/((2x+5)(x-1))$
$2/(x-1)$
Per il terzo ricordiamo che la derivata di $log_a(x)$ è uguale a $1/(xlna)$. Quindi nel tuo caso il primo logaritmo viene $1/(xln(1/2))$, lascio a te svolgere i successivi.
Se
$f(x) = ln(2x^2+3x-5)+ln(x-1)-ln(2x+5)$,
allora è
$f'(x)=2/(x-1)$.
I tuoi passaggi sono giusti, ma si può semplificare l'espressione a cui arrivi:
$(4x+10)/((x-1)*(2x+5))=(2(2x+5))/((x-1)*(2x+5))=2/(x-1)$.
Scrivendo la funzione come
f(x)= log1/2 (x) + log1/4 (x) + log3/4 (x)
intendi che sia questa:
$f(x)= log_(1/2) (x) + log_(1/4) (x) + log_(3/4) (x) $?
$f(x) = ln(2x^2+3x-5)+ln(x-1)-ln(2x+5)$,
allora è
$f'(x)=2/(x-1)$.
I tuoi passaggi sono giusti, ma si può semplificare l'espressione a cui arrivi:
$(4x+10)/((x-1)*(2x+5))=(2(2x+5))/((x-1)*(2x+5))=2/(x-1)$.
Scrivendo la funzione come
f(x)= log1/2 (x) + log1/4 (x) + log3/4 (x)
intendi che sia questa:
$f(x)= log_(1/2) (x) + log_(1/4) (x) + log_(3/4) (x) $?
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