Passaggio oscuro dimostrazione limite notevole

[HowardRoark]

Stavo studiando la dimostrazione di $lim_(x->0) (ln(1+x))/x =1$, ed ho trovato un passaggio poco chiaro.

La dimostrazione comincia considerando $(ln(1+x))/x = ln(1+x)^(1/x)$. Fin qui nulla di strano.

Poi però: $lim_(x->0) ln(1+x)^(1/x) = ln[lim_(x->0) (1+x)^(1/x)]$.

Io ho giustificato questo passaggio considerando una composizione di funzioni $f(g(x))$, dove $f=lnx$ e $g= (1+x)^(1/x)$.

Considerando che $lim_(x->alpha) f(g(x)) = f (lim_(x->alpha) g(x))$ allora il passaggio, tramite appunto la composizione, risulta giustificato. Peraltro il libro non spiega in modo esaustivo questo punto, quindi volevo chiedere conferma a voi: il ragionamento che ha fatto l'autore quando ha posto quell'uguaglianza è quello che ho fatto io ora?

[Zero87]

Prova a vedere cosa accade con un cambio di variabile del tipo $t=1/x$, ricordando di distinguere i due casi per $x$ che tende a zero da destra e da sinistra (quindi $t$ che tende a $+oo$ e $-oo$ rispettivamente).

[HowardRoark]

Quindi mi stai dicendo di considerare $ lim_(x->0) ln(1+1/t)^t = ln [lim_(x->0)(1+1/t)^t]$?

Comunque sia, rappresentando $y= ln(x+1)^(1/x)$ con un software non capisco come mai la funzione non sia definita per $-1
Sto cercando anche di capire quali siano le immagini di $y=ln(x+1)^(1/x)$ ma riesco ad arrivare al massimo ad espressioni del tipo $e^(xy) = 1+x$: ovviamente il mio intento è quello di esplicitarmi la $x$ in funzione della $y$...

Non riesco comunque a comprendere come mai per $-1

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[StellaMartensitica]

essendo
$x->0$ se $x->0^(+)$, allora $t->+infty$
se $x->0^(-)$, allora $t->-infty$, come ti ha scritto Zero87.

E poi stai bene attento che per geogebra c'è una grande differenza tra questo:
f(x)=ln((x + 1)^(1 / x))
e questo:
g(x)=ln(x + 1)^(1 / x)

cioè:
$f(x)=ln((x + 1)^(1 / x))$

$g(x)=ln(x + 1)^(1 / x)$

[HowardRoark]

La differenza che intercorre tra il logaritmo al quadrato di $x$ e il logaritmo di $x$ al quadrato, suppongo?

[HowardRoark]

"SirDanielFortesque":essendo
$x->0$ se $x->0^(+)$, allora $t->+infty$
se $x->0^(-)$, allora $t->-infty$, come ti ha scritto Zero87.

Il ragionamento è chiaro; quello che non capisco è quale sia la connessione con l'uguaglianza che ho riportato...

Il mio dubbio rimane: come ha fatto l'autore a passare da $lim_(x->0) ln (1+x)^(1/x)$ a $ln[lim_(x->0) (1+x)^(1/x)]$?

Per ora l'unica giustificazione che sono riuscito a dare è stata quella di considerare la composizione di due funzioni, come ho riportato sopra; non riesco a dare altre motivazioni oltre questa. Mi sembra strano però che si sia dato per scontato un passaggio relativamente artificioso come quello che ho elaborato, quindi ho pensato che la cosa fosse più semplice di come l'avevo impostata io...

[StellaMartensitica]

devi dimostrare che $lim_(x->0)[ln(x+1)/x]=1$

Si fa proprio per sostituzione come ha detto 087, appunto.
$t=1/x => $

$ t->\infty$

$x=1/t$

$lim_(x->0)[ln(x+1)/x]=lim_(t->infty)[ln(1/t+1)/(1/t)]=lim_(t->\infty)[t*ln(1+1/t)]=lim_(t->\infty)ln[(1+1/t)^(1/t)]=ln[lim_(t->\infty)(1+1/t)^(1/t)]=ln(e)=1$

Come fa... è il teorema del limite della funzione composta.

[HowardRoark]

Ti ringrazio per la dimostrazione, è molto simile a quella del mio libro; io però volevo chiarimenti solo per il passaggio che ho riportato; la dimostrazione l'ho capita (rimaneva solo l'ambiguità di quel passaggio). Comunque sia, l'importante è che riesca a trovare una giustificazione di tutti i passi che dà il libro, e questo lo riesco a fare.

Vado un secondo OT (mi sembra eccessivo aprire un altro thread per questo): come mai $lim_(x->0) sin (1/x)$ non esiste? $y= sin (1/x)$ ha come dominio $RR - {0}$, quindi lo $0$ dovrebbe essere un punto di accumulazione, no?

[axpgn]

Vedi se questa dimostrazione ti convince …


Theorem:

If $f$ is continuous at $b$ and $lim_(x->a) g(x)=b$, then $lim_(x->a) f(g(x))=f(b)$


Proof:

Let $epsilon>0$ be given. We want to find a number $delta>0$ such that if $0<|x-a|
Since $f$ is continuous at $b$, we have $lim_(y->b) f(y)=b$ and so there exists $delta_1>0$ such that if $0<|y-b|
Since $lim_(x->a) g(x)=b$, there exists $delta>0$ such that $0<|x-a|
Combining these two statements, we see that whenever $0<|x-a|
Therefore we have proved that $lim_(x->a) f(g(x)) = f(b)$

Cordialmente, Alex

[axpgn]

"HowardRoark":… come mai $lim_(x->0) sin (1/x)$ non esiste? $y= sin (1/x)$ ha come dominio $RR - {0}$, quindi lo $0$ dovrebbe essere un punto di accumulazione, no?

Il fatto che un punto sia di accumulazione non ti garantisce che il limite esista (credo si dica "è una condizione necessaria ma non sufficiente" ).
Quando $x->0$ cosa succede a $1/x$? Diventerà sempre più grande e di conseguenza $sin(1/x)$ continuerà ad oscillare tra $1$ e $-1$ ovvero "non si avvicina" a niente …

Cordialmente, Alex

[HowardRoark]

Ah, la dimostrazione del limite della funzione composta mi mancava. Me la leggerò stasera con calma, grazie!

[axpgn]

Non era quello che volevi?

[HowardRoark]

Non esplicitamente. Pensavo che il passaggio che avevo riportato si potesse giustificare in modo diverso; io ci ho visto una composizione di funzioni, ma credevo che l'autore avesse usato altre proprietà. Volevo chiarimenti su questo.

[axpgn]

Mi scuso di aver "esplicitato": non lo farò mai più …

[HowardRoark]

Ma no, in generale più dimostrazioni so meglio è!

Ho usato "esplicitamente" perché non l'avevo richiesta in questo thread, ma sicuramente mi fa piacere che tu l'abbia postata (spero solo di riuscire a capirla... )

[axpgn]

Scherzavo, dai …