Parametro k..punti di discontinuità
Ragazzi non riesco ad andare avanti nello svolgimento dell'esercizio.. Ho questa funzione
$ f(x){ ( (senkx)/x if x<0 ),( (x^2-k+1)/(x-2)if x>=0 ):} $
mi dice di trovare per quali valori di K la funzione presenta una discontinuità di prima specie con salto l=1 in x=0.
Dovrei fare il limite destro e il limite sinistro e poi mettere in modulo i risultati ponendoli uguali al salto (1).
Non riesco proprio..
$ f(x){ ( (senkx)/x if x<0 ),( (x^2-k+1)/(x-2)if x>=0 ):} $
mi dice di trovare per quali valori di K la funzione presenta una discontinuità di prima specie con salto l=1 in x=0.
Dovrei fare il limite destro e il limite sinistro e poi mettere in modulo i risultati ponendoli uguali al salto (1).
Non riesco proprio..
Risposte
$lim_{x \to 0 }frac{senkx}{x}=lim_{x \to 0}frac{senkx}{kx}k=k$
in generale,$lim_{x \to 0}frac{senax}{bx}=a/b$
l'altro limite vale ovviamente $frac{k-1}{2}$
adesso puoi continuare
in generale,$lim_{x \to 0}frac{senax}{bx}=a/b$
l'altro limite vale ovviamente $frac{k-1}{2}$
adesso puoi continuare
Perfetto ho capito benissimo..ma se poi devo cercare gli asintoti come faccio con i K? Non so proprio come fare..
in corrispondenza di un punto di discontinuità di prima specie non c'è l'asintoto verticale
c'è solo un piccolo saltino
c'è solo un piccolo saltino
Ma l'esercizio mi dice di ricercare asintoti..! Forse non tenendo conto della discontinuità in X=0? E' strano..
nella domanda che hai postato c'è solo quello a cui ho risposto
Ma se le soluzioni sono x=2 e Y=0..significa che allora ci sono asintoti..! 
scusa,nella domanda si chiedono dei valori di k
tu ora mi dici che le soluzioni sono x=2 e y=0
come dicono a roma,famo a capisse.........
tu ora mi dici che le soluzioni sono x=2 e y=0
come dicono a roma,famo a capisse.........
L'esercizio ha diversi punti.. Il primo mi dice di trovare i valori di k.
Il secondo di trovare eventuali asintoti.. ora si capisce?
Il secondo di trovare eventuali asintoti.. ora si capisce?
Per esempio potrebbe esserci un asintoto obliquo destro... Oppure un asintoto verticale in $x=2$, oppure...
adesso si capisce........
se x=2 il denominatore della funzione si annulla ed il denominatore vale 5-k
quindi se k è diverso da 5 la funzione ha l'asintoto verticale x=2 e quindi si ha un punto di discontinuità di seconda specie
se k=5
il numeratore si può scrivere (x-2)(x+2)
e quindi $lim_{x \to 2}f(x)=4$ e si ha un punto di discontinuità di terza specie
lascio a minomic l'onore di affrontare il problema dell' asintoto obliquo
se x=2 il denominatore della funzione si annulla ed il denominatore vale 5-k
quindi se k è diverso da 5 la funzione ha l'asintoto verticale x=2 e quindi si ha un punto di discontinuità di seconda specie
se k=5
il numeratore si può scrivere (x-2)(x+2)
e quindi $lim_{x \to 2}f(x)=4$ e si ha un punto di discontinuità di terza specie
lascio a minomic l'onore di affrontare il problema dell' asintoto obliquo
"raf85":
lascio a minomic l'onore di affrontare il problema dell' asintoto obliquo
Ti ringrazio molto!
Ovviamente raccolgo l'invito: osserviamo la funzione per $x \to +\infty$. $$\lim_{x\to +\infty} \frac{x^2-k+1}{x-2} = +\infty, \quad \forall k \in \mathbb{R}$$ Questo accade perchè, indipendentemente dal valore di $k$, il numeratore è di secondo grado e "domina" il denominatore che è di primo grado. Quindi potrebbe esistere l'asintoto obliquo destro.
Cerchiamo il coefficiente angolare: $$m = \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x^2-k+1}{x^2-2x} = 1, \quad \forall k\in\mathbb{R}$$ Questo accade perchè entrambi i polinomi sono di secondo grado e il rapporto tra i coefficienti di grado massimo è pari a $1$.
Andiamo ora a cercare l'ordinata all'origine della retta. $$q = \lim_{x\to +\infty} \left[f(x)-mx\right] = \lim_{x\to +\infty} \frac{x^2-k+1}{x-2}-x = \lim_{x\to +\infty} \frac{\cancel{x^2}-k+1-\cancel{x^2}+2x}{x-2} = 2$$ Ancora una volta il valore di $k$ non influenza il risultato. Concludiamo dicendo che la funzione ammette un asintoto obliquo destro di equazione $$y=x+2$$
Chiedo cortesemente a raf85 di controllare il tutto.
PS. Sicuri che quel $k$ non fosse moltiplicato per una $x$? Perché le cose sarebbero state più interessanti...
perfetto
però ci siamo dimenticati dell'asintoto orizzontale
è ovvio che $lim_{x \to -infty}f(x)=0$
quindi la funzione ha come asintoto orizzontale sinistro la retta $y=0$
però ci siamo dimenticati dell'asintoto orizzontale
è ovvio che $lim_{x \to -infty}f(x)=0$
quindi la funzione ha come asintoto orizzontale sinistro la retta $y=0$
Ottimo! Basta suddividere il lavoro e si va a meraviglia!
Siete fantastici! Ho capito alla perfezione grazie mille!!
Un ultima cosa.. perchè Y=0 è asintoto orizzontale? Mi mostrate bene il calcolo del limite?
Perchè se $x\to -oo$ la funzione seno rimane comunque "intrappolata" tra $-1$ e $1$ mentre in denominatore, tendendo all'infinito, porta la frazione a zero.
Perfetto! Ma perchè abbiamo calcolato solo per x che tende a meno infinito e non anche per x che tende a più infinito?
Ho questi dubbi che mi massacrano!
Ho questi dubbi che mi massacrano!
Perchè per $x\to +oo$ abbiamo già visto che c'era l'asinto obliquo. Inoltre la prima parte della funzione, cioè $(sin kx)/x$ è valida solo per ascisse negative, quindi non ha senso chiedersi cosa faccia per $x\to +oo$.
Perfetto..grazie mille!
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