Parallelismo tra rette nello spazio
https://www.youtube.com/watch?v=wgixeCeiDC4&t=27s
Stavo cercando di capire la dimostrazione riguardo il fatto che la relazione di parallelismo tra le rette è una relazione di equivalenza (minuto 12.00-13.25). Sul piano mi è sempre sembrata molto banale come cosa, ma nello spazio mi sembra un po' più interessante, soprattutto perché è la prima volta che studio geometria 3D e faccio ancora un po' di fatica a visualizzare tutto correttamente su un foglio di carta.
Il passaggio non chiaro è precisamente al minuto 12.50: come si fa a dedurre che $s$ appartiene al piano $beta$ dal fatto che $beta$ contiene il punto $A in s$? Stavo cercando giustificazione in un assioma ma credo sia dovuto al fatto che due rette incidenti sono necessariamente complanari e inoltre, ricordando che $r'= alpha nn beta$ (cioè $r'$ sta sia in $alpha$ che in $beta$), allora anche $s$ dovrebbe stare sia in $alpha$ che in $beta$.
Correggetemi se sbaglio, ho fatto quest'ultima considerazione mentre scrivevo il post.
Stavo cercando di capire la dimostrazione riguardo il fatto che la relazione di parallelismo tra le rette è una relazione di equivalenza (minuto 12.00-13.25). Sul piano mi è sempre sembrata molto banale come cosa, ma nello spazio mi sembra un po' più interessante, soprattutto perché è la prima volta che studio geometria 3D e faccio ancora un po' di fatica a visualizzare tutto correttamente su un foglio di carta.
Il passaggio non chiaro è precisamente al minuto 12.50: come si fa a dedurre che $s$ appartiene al piano $beta$ dal fatto che $beta$ contiene il punto $A in s$? Stavo cercando giustificazione in un assioma ma credo sia dovuto al fatto che due rette incidenti sono necessariamente complanari e inoltre, ricordando che $r'= alpha nn beta$ (cioè $r'$ sta sia in $alpha$ che in $beta$), allora anche $s$ dovrebbe stare sia in $alpha$ che in $beta$.
Correggetemi se sbaglio, ho fatto quest'ultima considerazione mentre scrivevo il post.
Risposte
Sintetizzando, il mio dubbio è questo: il piano individuato da due rette è lo stesso di quello individuato da una di queste rette e un punto qualsiasi dell'altra retta?
Per il postulato secondo cui per 3 punti distinti passa uno e un solo piano direi proprio di sì
Per il postulato secondo cui per 3 punti distinti passa uno e un solo piano direi proprio di sì
"HowardRoark":
Sintetizzando, il mio dubbio è questo: il piano individuato da due rette è lo stesso di quello individuato da una di queste rette e un punto qualsiasi dell'altra retta?
Sì. Altrimentri non sarebbe terribilmente strano?
Due rette possono non determinare un piano. Suppongo che le tue lo facciano altrimenti di cosa stiamo parlando?
E non un punto qualsiasi. C'è uno che non funziona.
E se le due rette coincidono... ma anche qui non determinano un piano.
Hai ragione, devo ancora abituarmi ad una visione 3D delle cose.
Più che altro è la relazione tra una retta nello spazio e un singolo piano che è difficile da visualizzare. Una retta giace su una quantità infinita di piani, per rendersene conto basta aprire un quaderno verticalmente su un tavolo: la rilegatura è una retta e i fogli sono tutti gli infiniti piani su cui giace quella retta. Però contemporaneamente una retta interseca anche una quantità infinita di piani in un punto ed è parallela ad altrettanti infiniti piani (che presumo abbiano la stessa direzione della retta, d'altronde il concetto di coefficiente angolare, intuitivamente, mi sembra si possa applicare tranquillamente anche ad un piano). Molte cose comunque me le devo ancora studiare, sicuramente tra un po' avrò le idee più chiare.
"HowardRoark":
infiniti piani (che presumo abbiano la stessa direzione della retta
Cos'è la direzione di un piano?
$z=0$ per esempio.
Eh appunto non saprei definirla ancora bene la direzione di un piano, però è intuitiva l'idea che ci siano piani più o meno inclinati rispetto ad un piano orizzontale che nella nostra testa è rappresentato dal pavimento. Per $z=0$ si ottiene il consueto piano cartesiano, quindi immagino che l'inclinazione di un piano sarà relativa all'angolo che un piano forma col piano $Oxy$. Siccome è intuitivo che l'inclinazione sia una relazione di equivalenza e che due piani sono paralleli se e solo se hanno stessa inclinazione, si può definire la direzione come ciascuna classe di equivalenza generata dall'insieme dei piani nello spazio dalla relazione: "il piano $alpha$ è parallelo al piano $beta"$.
Quindi $x=0$ e $y=0$?
la stessa..direzione?
la stessa..direzione?
No, io stavo parlando di direzione tra piani; per la direzione tra rette ci si riferisce al piano a cui appartengono e la loro direzione è data dal loro coefficiente angolare.
Mi spiego meglio. Come in un piano la direzione della retta è data dalla variazione sull'asse verticale in risposta ad una variazione di 1 sull'asse orizzontale, così nello spazio la direzione di un piano sarà data dalla sua variazione sull'asse $z$ rispetto ad una variazione unitaria sul piano $Oxy$, corrispondente non ad un movimento rispetto a un solo asse (come sul piano, quando la $x$ variava solo di 1 e in risposta a quella potevi misurare la direzione di una retta) ma, immagino, ad un movimento di un quadrato sul piano $Oxy$ di lato unitario.
Mi spiego meglio. Come in un piano la direzione della retta è data dalla variazione sull'asse verticale in risposta ad una variazione di 1 sull'asse orizzontale, così nello spazio la direzione di un piano sarà data dalla sua variazione sull'asse $z$ rispetto ad una variazione unitaria sul piano $Oxy$, corrispondente non ad un movimento rispetto a un solo asse (come sul piano, quando la $x$ variava solo di 1 e in risposta a quella potevi misurare la direzione di una retta) ma, immagino, ad un movimento di un quadrato sul piano $Oxy$ di lato unitario.
Mi riferivo a "immagino che l'inclinazione di un piano sarà relativa all'angolo che un piano forma col piano Oxy."
Con $x=0$ e $y=0$ cosa viene fuori? È quello che vuoi?
Con $x=0$ e $y=0$ cosa viene fuori? È quello che vuoi?
Mmh, entrambi piani perpendicolari a $Oxy$, allora c'è qualcosa che mi sfugge.
"HowardRoark":
Mmh, entrambi piani perpendicolari a $Oxy$, allora c'è qualcosa che mi sfugge.
In quanto non vorrai dire che hanno la stessa direzione, immagino. Sembra troppo strano.
Certo che non hanno stessa direzione. Comunque allora la direzione di un piano è univocamente determinata dall'angolo che il piano stesso forma con $Oxy$ e da un suo movimento rotatorio, che matematicamente immagino si esprima con la trigonometria
"HowardRoark":
Certo che non hanno stessa direzione. Comunque allora la direzione di un piano è univocamente determinata dall'angolo che il piano stesso forma con $Oxy$ e da un suo movimento rotatorio, che matematicamente immagino si esprima con la trigonometria
Il tuo libro / i tuoi appunti cosa dicono?
Non tocca necessariamente a te inventarti una definizione.
Magari è esattamente l'opposto di quello che sembri pensare!
A queste cose devo ancora arrivarci (magari tra un paio di giorni...), stavo più che altro provando ad estendere allo spazio quello che so per il piano ma ovviamente non speravo di dire cose corrette.
"HowardRoark":
A queste cose devo ancora arrivarci (magari tra un paio di giorni...), stavo più che altro provando ad estendere allo spazio quello che so per il piano ma ovviamente non speravo di dire cose corrette.
Non so cosa dirti. Lo saprai fra poco comunque. Facci sapere.
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