Parallelepipedo intersecato da un piano
Ecco il quesito sul quale ho dubbi: "Dati un parallelepipedo e un piano che interseca i quattro spigoli laterali del parallelepipedo, dimostra che la sezione ottenuta è un parallelogramma".
Ora, è ovvio che la sezione è la figura intersezione tra solido e piano. Per dimostrare che questa figura è un parallelogramma, dovrebbe bastarmi che due lati opposti siano congruenti e paralleli.
CREDO di poter dire che i lati opposti sono paralleli perchè appartenenti a piani paralleli.
Per dimostrare che sono congruenti, invece, posso dire che, se un piano interseca due piani paralleli (le facce) i segmenti intersezione sono tra loro congruenti (non mi vengono in mente altre ragioni)?
Aggiungo, molto probabilmente sbagliando: se entrambe le coppie di lati sono parallele, e in questo caso è chiaro, non si può già dire di avere a che fare con un parallelogramma? In fondo, un altro modo per definire "parallelogramma" non è "intersezione di due fasci di rette non paralleli"?
Grazie anticipatamente.
Ora, è ovvio che la sezione è la figura intersezione tra solido e piano. Per dimostrare che questa figura è un parallelogramma, dovrebbe bastarmi che due lati opposti siano congruenti e paralleli.
CREDO di poter dire che i lati opposti sono paralleli perchè appartenenti a piani paralleli.
Per dimostrare che sono congruenti, invece, posso dire che, se un piano interseca due piani paralleli (le facce) i segmenti intersezione sono tra loro congruenti (non mi vengono in mente altre ragioni)?
Aggiungo, molto probabilmente sbagliando: se entrambe le coppie di lati sono parallele, e in questo caso è chiaro, non si può già dire di avere a che fare con un parallelogramma? In fondo, un altro modo per definire "parallelogramma" non è "intersezione di due fasci di rette non paralleli"?
Grazie anticipatamente.
Risposte
Guarda che la definizione di parallelogramma si fonda sul parallelismo non sulla congruenza.
Si dice parallelogramma (o parallelogrammo) un quadrilatero convesso coi lati opposti paralleli.
Quella della congruenza è una caratterizzazione. Quindi per dimostrare quanto dovuto ti basta notare che i lati del quadrilatero sono staccati su piani paralleli e sono complanari (se non aggiungi questo non puoi trarre il parallelismo), quindi sono paralleli. Ovviamente questa affermazione è sensata non perché bella ma perché si fonda su tutti i teoremi di parallelismo della geometria solida.
Si dice parallelogramma (o parallelogrammo) un quadrilatero convesso coi lati opposti paralleli.
Quella della congruenza è una caratterizzazione. Quindi per dimostrare quanto dovuto ti basta notare che i lati del quadrilatero sono staccati su piani paralleli e sono complanari (se non aggiungi questo non puoi trarre il parallelismo), quindi sono paralleli. Ovviamente questa affermazione è sensata non perché bella ma perché si fonda su tutti i teoremi di parallelismo della geometria solida.
Capisco adesso....quindi dovevo basarmi sulla definizione di parallelogramma e ricordare di dire che i lati sono complanari.
Non voglio approfittare della tua disponibilità, ma ho un dubbio sempre sulla geometria solida, relativo a un altro esercizio.
Non è un dubbio complesso quanto sembra, almeno credo.
In una piramide VABCD poniamo ABCD base rettangolo. Le diagonali del rettangolo AC e BD si intersecano in H. Sia VH altezza della piramide. Disegnamo poi l'altezza HM del triangolo ABH e l'altezza HN del triangolo BCH.
Mi chiede se la piramide è retta. No, perchè in un rettangolo non si può inscrivere una circonferenza.
Mi chiede cosa sono i segmenti VM e VN. Direi che sono le altezze dei triangoli (facce) VAB e VBC relative alle rispettive basi.
Mi chiede infine se VM e VN sono congruenti. Per me non lo sono: la superficie delle facce VAB e VBC è differente, poichè alla base della piramide non abbiamo un poligono regolare (d'altronde, se la piramide non è retta, come potrebbe essere regolare?).
E' sull'ultima domanda del testo che ho qualche dubbio....potresti chiarirmelo?
Grazie mille.
Non voglio approfittare della tua disponibilità, ma ho un dubbio sempre sulla geometria solida, relativo a un altro esercizio.
Non è un dubbio complesso quanto sembra, almeno credo.
In una piramide VABCD poniamo ABCD base rettangolo. Le diagonali del rettangolo AC e BD si intersecano in H. Sia VH altezza della piramide. Disegnamo poi l'altezza HM del triangolo ABH e l'altezza HN del triangolo BCH.
Mi chiede se la piramide è retta. No, perchè in un rettangolo non si può inscrivere una circonferenza.
Mi chiede cosa sono i segmenti VM e VN. Direi che sono le altezze dei triangoli (facce) VAB e VBC relative alle rispettive basi.
Mi chiede infine se VM e VN sono congruenti. Per me non lo sono: la superficie delle facce VAB e VBC è differente, poichè alla base della piramide non abbiamo un poligono regolare (d'altronde, se la piramide non è retta, come potrebbe essere regolare?).
E' sull'ultima domanda del testo che ho qualche dubbio....potresti chiarirmelo?
Grazie mille.
Tutto OK. Sul terzo punto ti direi questo: che siano disuguali ($VM,VN$) non dipende dal fatto che le superfici di $\Delta VAB$ e $\Delta VBC$) sono diverse. Vale infatti il teorema "Piramide retta $\implies$ altezze laterali uguali", ma non vale l'inverso, quindi non puoi dire che non essendo retta le altezze laterali non possono essere uguali. Quelle altezze non sono uguali perché, per dove è piazzato $H$, si ha $VM=\sqrt{VH^{2}+MH^{2}}=\sqrt{VH^{2}+(\frac{BC}{2})^{2}}!=\sqrt{VH^{2}+(\frac{AB}{2})^{2}}=\sqrt{VH^{2}+NH^{2}}=VN$, se, però la base è un rettangolo non quadrato. Quindi la risposta completà è: no se la base è un rettangolo non quadrato, sì se la base è un quadrato.
Allora, intanto grazie ancora.
Poi:
- la traccia in sè inizia con "Disegna una piramide VABCD a base rettangolare ABCD in modo tale che, detto H il punto d'intersezione delle diagonali del rettangolo..." quindi escluderei a priori il discorso, giusto, sulla possibilità che sia un rettangolo particolare, e quindi un quadrato.
- non ho capito bene la formula che hai scritto, o meglio il senso in questo caso.
$VM=sqrt(VH^2+MH^2)$ nel mio disegno però $VH$ è ipotenusa, quindi non capisco. E a dirti la verità per quanto riguarda i passaggi successivi non ci sono proprio...mi sembra che si riferiscano a figure che non "vedo" nel senso che non trovo le lettere sul grafico.
Poi:
- la traccia in sè inizia con "Disegna una piramide VABCD a base rettangolare ABCD in modo tale che, detto H il punto d'intersezione delle diagonali del rettangolo..." quindi escluderei a priori il discorso, giusto, sulla possibilità che sia un rettangolo particolare, e quindi un quadrato.
- non ho capito bene la formula che hai scritto, o meglio il senso in questo caso.
$VM=sqrt(VH^2+MH^2)$ nel mio disegno però $VH$ è ipotenusa, quindi non capisco. E a dirti la verità per quanto riguarda i passaggi successivi non ci sono proprio...mi sembra che si riferiscano a figure che non "vedo" nel senso che non trovo le lettere sul grafico.
Aspetta che posto un disegnino.
[asvg]noaxes();
var A=[-2,-2]; var V=[1,5];
var B=[2,-2]; var M=[0,-2];
var C=[4,0]; var N=[3,-1];
var D=[0,0];
var H=[1,-1];
text(A,"A",below); text(V,"V",above);
text(B,"B",below); text(M,"M",below);
text(C,"C",right); text(N,"N",right);
text(D,"D",left);
text(H,"H",below);
line(A,B); line(B,C); line(C,D); line(A,D); line(A,C); line(B,D); line(V,A); line(V,B); line(V,C); line(V,D); line(V,H); line(H,M); line(H,N); line(V,M); line(V,N);[/asvg]
var A=[-2,-2]; var V=[1,5];
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La sostanza è questa: $\Delta VHM$ e $\Delta VHN$ sono triangoli rettangoli in $H$, quindi $VM$ e $VN$ sono le rispettive ipotenuse, done per il teorema di Pitagora $VM^2=VH^2+HM^2$. $H$ e il punto in cui concorrono le diangonali di $ABCD$, quindi $\Delta ABH$ e $\Delta BCH$ sono isosceli su base $AB$ e $BC$ rispettivamente, sicché $M$ e $N$ sono i punti medi di $AB$ e $BC$ rispettivamente. Inoltre $MBNH$ è un paralellogramma (in particolare è un rettangolo), ragione per cui $HN=BM=(AB)/2$ e $HM=BN=(BC)/2$.
edit: non avevo letto l'ultimo tuo messaggio. I due triangoli all base sono per caso rettangoli isosceli? Se il rettangolo ha angoli retti, le diagonali sono anche bisettrici e quindi dovrebbe essere cosi. Perchè il parallelogramma in piccolo è un rettangolo? (Lo so, sto rompendo a dovere...) Ci sono fino a che dimostri che $HN=(AB)/2$ e $HM=(BC)/2$. Per concludere?
La traccia dice che $M$ è il piede dell'altezza condotta da $H$ ad $AB$. Nel piano che contiene la base questa è un rettangolo e $H$ è il punto di concorrenza delle sue diagonali, che sono congruenti. Allora $\Delta ABH$ è isoscele su base $AB$, sicché $M$ è il punto medio di $AB$. Inoltre è $HM \bot AB$ e $BC \bot AB$, sicché $HM || BC$. Allo stesso modo si trae che $HN || AB$: quindi $BNHM$ è un parallelogramma e $HM = BN = \frac{BC}{2}$. Similemente si trae $HN = \frac{AB}{2}$.
Se $ABCD$ è un rettangolo non quadrato allora $AB!=BC$ sicché moltiplicando per $1/2$ ambo i membri si ottiene $\frac{AB}{2}!=\frac{BC}{2}$. Quindi $VH^2+(\frac{BC}{2})^2!=VH^2+(\frac{AB}{2})^2$: ma queste quantità sotto radice definiscono rispettivamente $VM$ e $VN$, sicché $VM != VN$.
Se $ABCD$ è un rettangolo non quadrato allora $AB!=BC$ sicché moltiplicando per $1/2$ ambo i membri si ottiene $\frac{AB}{2}!=\frac{BC}{2}$. Quindi $VH^2+(\frac{BC}{2})^2!=VH^2+(\frac{AB}{2})^2$: ma queste quantità sotto radice definiscono rispettivamente $VM$ e $VN$, sicché $VM != VN$.
Si, ora penso proprio diaver capito, in quest'ultimo messaggio hai praticamente esposto tutto. Sto rileggendo, ma mi pare chiaro. Grazie ancora.
Anzi, se attendi qualche minuto ti faccio sapere con certezza ( allora non sono l'unico sveglio a quest'ora? 
)
)
Io vado a dormire tardi, non prima delle 4.00/5.00.
Beh, tempo ne ho impiegato, ma sono giunto al nocciolo del problema. Sei in gamba, Wizard... alla prossima!
Buona notte.
[OT]
@ WiZaRd
grazie per questo: http://www2.dm.unito.it/paginepersonali ... i/bell.pdf
visto che ti ho potuto ringraziare nella sede appropriata (per topic bloccato).
[/OT]
@ WiZaRd
grazie per questo: http://www2.dm.unito.it/paginepersonali ... i/bell.pdf
visto che ti ho potuto ringraziare nella sede appropriata (per topic bloccato).
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E di che?! Sempre a disposizione 
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