Paradosso funzione $2lnx$
la funzione $2lnx$ può essere scritta anche come $ln(x^2)$, pertanto le due espressioni sono equivalenti (o almeno credo, vediamo il perché).
Ora però studiando il C.E. di $2lnx$ ottengo $AA x>0$, mentre nel caso $ln(x^2)$ il C.E. è $AA x in R - {0}$.
Quindi siamo partiti da espressioni equivalenti e abbiamo ottenuto risultati diversi. domanda: cos'è che sbaglio? è equivalente studiare l'una o l'altra espressione o bisogna procedere in un certo modo?
probabile risposta: il $ln$ è definito sempre e solo per argomenti positivi, quindi in $ln(x^2)$ la $x <0$ non si considera.
e se ciò fosse, perché facendo il grafico con derive ottengo anche la funzione anche per $x<0$
p.s. la cosa vale per tutti i coefficienti/esponenti pari; e no per quelli dispari, g.e. $3lnx=ln(x^3)$
Ora però studiando il C.E. di $2lnx$ ottengo $AA x>0$, mentre nel caso $ln(x^2)$ il C.E. è $AA x in R - {0}$.
Quindi siamo partiti da espressioni equivalenti e abbiamo ottenuto risultati diversi. domanda: cos'è che sbaglio? è equivalente studiare l'una o l'altra espressione o bisogna procedere in un certo modo?
probabile risposta: il $ln$ è definito sempre e solo per argomenti positivi, quindi in $ln(x^2)$ la $x <0$ non si considera.
e se ciò fosse, perché facendo il grafico con derive ottengo anche la funzione anche per $x<0$
p.s. la cosa vale per tutti i coefficienti/esponenti pari; e no per quelli dispari, g.e. $3lnx=ln(x^3)$
Risposte
Ciao, la questione è questa: $2 \ln x$ e $ln(x^2)$ sono espressioni "equivalenti", nel senso che una si ottiene dall'altra tramite proprietà dei logaritmi. Però non rappresentano la stessa funzione perchè non hanno lo stesso C.E. La differenza è quindi la forma che ti viene data dal testo dell'esercizio. Se ti viene chiesto di disegnare $ln(x^2)$ allora la rappresenterai sia per ascisse negative che positive, mentre se il testo scrive $2 \ln x$ la disegnerai solo per ascisse positive.
Per concludere ti faccio un altro esempio: \[\tag{1}{y = x,\qquad x \in \mathbb{R}}\] \[\tag{2}{y = x, \qquad x \in \mathbb{N}}\] Le espressioni sono equivalenti (addirittura uguali) ma i grafici no: il primo è una retta mentre il secondo è un insieme di punti.
Per concludere ti faccio un altro esempio: \[\tag{1}{y = x,\qquad x \in \mathbb{R}}\] \[\tag{2}{y = x, \qquad x \in \mathbb{N}}\] Le espressioni sono equivalenti (addirittura uguali) ma i grafici no: il primo è una retta mentre il secondo è un insieme di punti.
... e ancora, la funzione $2lnx$ è eguale pure a $lnx+lnx$ (vedi *) che ha come C.E. $x>0$, quindi siamo ritornati al C.E. di partenza. il punto è: perché non vale l'uguaglianza "stretta" tra $2lnx$ e $ln(x^2)$?
* $2lnx=ln(x^2)=ln(x*x)=lnx+lnx$.
* $2lnx=ln(x^2)=ln(x*x)=lnx+lnx$.
Le derivate sono uguali
\(\displaystyle \frac{d}{dx} 2\ln x=\frac{2}{x} \)
\(\displaystyle \frac{d}{dx} \ln x^2= \frac{\frac{d}{dx} x^2}{x^2}=\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}\)
Comunque sono d'accordo con minomic.
Prova comunque a fare l'inverso del logaritmo
\(\displaystyle 2\ln x=A \quad \to \quad x=e^{\frac{A}{2}}=\sqrt{e^A} \)
\(\displaystyle \ln x^2 =A \quad \to \quad x^2=e^A \quad \to \quad x=\sqrt{e^A}\)
In entrambi i casi non conosci esattamente il segno giusto.
\(\displaystyle \frac{d}{dx} 2\ln x=\frac{2}{x} \)
\(\displaystyle \frac{d}{dx} \ln x^2= \frac{\frac{d}{dx} x^2}{x^2}=\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}\)
Comunque sono d'accordo con minomic.
Prova comunque a fare l'inverso del logaritmo
\(\displaystyle 2\ln x=A \quad \to \quad x=e^{\frac{A}{2}}=\sqrt{e^A} \)
\(\displaystyle \ln x^2 =A \quad \to \quad x^2=e^A \quad \to \quad x=\sqrt{e^A}\)
In entrambi i casi non conosci esattamente il segno giusto.
CaMpIoN, non sono del tutto d'accordo.
$2logx=A" "->" "x=e^(A/2)=sqrt(e^(A))$ col solo segno $+$
$logx^2=A" "->" "x^2=e^A" "->" "x=+-sqrt(e^(A))$
Quanto al motivo per cui $2logx$ e $logx^2$ non indicano esattamente la stessa cosa è semplice: tutte le proprietà dei logaritmi possono essere applicate solo se esiste tutto ciò di cui parliamo e questo non succede se $x<0$.
Aggiungo un esempio numerico:
è FALSO che sia $log(-2)+log(-3)=log6$: il secondo membro esiste, ma il primo no.
$2logx=A" "->" "x=e^(A/2)=sqrt(e^(A))$ col solo segno $+$
$logx^2=A" "->" "x^2=e^A" "->" "x=+-sqrt(e^(A))$
Quanto al motivo per cui $2logx$ e $logx^2$ non indicano esattamente la stessa cosa è semplice: tutte le proprietà dei logaritmi possono essere applicate solo se esiste tutto ciò di cui parliamo e questo non succede se $x<0$.
Aggiungo un esempio numerico:
è FALSO che sia $log(-2)+log(-3)=log6$: il secondo membro esiste, ma il primo no.
giammaria cio' che intendo e che nel primo caso non conosci il segno perché è imposto positivo, mentre nel secondo perché è un quadrato, quindi il più o meno ci vorrebbe in entrambi i casi.
Forse non ci siamo capiti; quello che intendo io è che nel primo caso si ha $x=e^(A/2)$ ed un numero positivo ($e$ lo è) dà un risultato positivo a qualunque cosa venga elevato, quindi conosciamo il segno e sarebbe sbagliato il $+-$.
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