Parabola&rette tangenti

[Time]

Calcola le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equazione

[math]y=-x^2+2x+4[/math]

, condotte dal punto

[math]P(\frac{1}{2},7)[/math]

Come lo risolvo?

io ho provato così

[math]mx+7=x^2+2x+4[/math]

[math]-mx-7+x^2-2x-4=0[/math]

[math]-mx+x^2-2x-13=0[/math]

[math]x^2-x*(m+2)-13=0[/math]

[math]\Delta=b^2-4ac[/math]

[math]\Delta=-(m+2)^2-4*13[/math]

[math]\Delta=-(m+2)^2+52[/math]

pongo

[math]\Delta=0[/math]

affinche le rette siano tangenti

[math](m+2)^2=-52[/math]

ed ora?

[BIT5]

Dal punto P passano infinite rette.

Il fascio di rette passanti per un punto di coordinate

[math] x_P,y_P [/math]

e' dato dalla formuletta

[math] y-y_P=m(x-x_P) \to y-7=m \(x- \frac12 \) \to y=mx- \frac12m+7 [/math]

Quindi devi risolvere il sistema

[math] \{ y=-x^2+2x+4 \\ y=mx- \frac12m+7 [/math]

Che per confronto dara'

[math]-x^2+2x+4=mx- \frac12m+7 \\ \\ x^2+(m-2)x- \frac12m+3=0 [/math]

L'equazione deve dare origine a due soluzioni coincidenti: infatti le soluzioni rappresentano le ascisse dei punti di intersezione (in funzione di m) tra le rette del fascio e la parabola.

Ma siccome vogliamo le rette tangenti, allora le soluzioni dovranno essere coincidenti e quindi delta = 0

[math] (m-2)^2-4 \(3- \frac12m \) = 0 [/math]

E dunque

[math] m^2-4m+4-12+2m=0 \to m^2-2x-8=0 [/math]

e dunque (uso la ridotta)

[math] m_{1,2}= 1 \pm \sqrt{1+8} = 1 \pm 3 [/math]

E quindi

[math] m_1=4 [/math]

e quindi la retta

[math] y=4x-2+7 \to y=4x-5 [/math]

e

[math] m_2=-2 [/math]

Quindi la retta...... puoi finirlo tu :)