Parabola e rette tangenti
Buonasera, non saprei come procedere con questo problema.
Testo: scrivi l'equazione della parabola passante per A(1;0); B(4;0) e C(0;4). Tracciare il grafico e determinare l'equazione della retta tangente alla parabola e parallela alla retta di equazione y=-2x. Risultato: $y= x^2 - 5x+4; y=-2x+7/14$
1) ho trovato l'equazione della parabola appklicando la proprietà di appartenenza di ogni punto e risolvendo il sistema in 3 equazioni in 3 incognite ho ottenuto: $y= x^2 - 5x+4$
2) ho trovato V(5/2; -9/4) al fine di disegnare la parabola
3) conosco il coefficente angolare della retta tangente che è pari a -2
Ma come trovo l'equazione della tangente? Mi occorrerebbe anche un punto che non ho.
Non riesco a procedere.
Mi potreste aiutare a capire come procedere?
Grazie, anticipatamente.
Martina.
Testo: scrivi l'equazione della parabola passante per A(1;0); B(4;0) e C(0;4). Tracciare il grafico e determinare l'equazione della retta tangente alla parabola e parallela alla retta di equazione y=-2x. Risultato: $y= x^2 - 5x+4; y=-2x+7/14$
1) ho trovato l'equazione della parabola appklicando la proprietà di appartenenza di ogni punto e risolvendo il sistema in 3 equazioni in 3 incognite ho ottenuto: $y= x^2 - 5x+4$
2) ho trovato V(5/2; -9/4) al fine di disegnare la parabola
3) conosco il coefficente angolare della retta tangente che è pari a -2
Ma come trovo l'equazione della tangente? Mi occorrerebbe anche un punto che non ho.
Non riesco a procedere.
Mi potreste aiutare a capire come procedere?
Grazie, anticipatamente.
Martina.
Risposte
Premesso che a me viene $y=-2x+7/4$, metti a sistema la parabola con la generica retta con coefficiente angolare pari a $-2$.
Dato che la retta deve essere tangente, la soluzione del sistema deve essere unica e quindi ...
Cordialmente, Alex
Dato che la retta deve essere tangente, la soluzione del sistema deve essere unica e quindi ...
Cordialmente, Alex
Il risultato è y=-2x + 7/4.
L'equazione della retta generica $y=mx +q$ mi si trasforma in $y=-2x+q$ come la risolvo se ho come incognita q?
Anche mettendola a sistema con l'equazione della parabola non riuscirei a risolverla.
Grazie, Martina.
L'equazione della retta generica $y=mx +q$ mi si trasforma in $y=-2x+q$ come la risolvo se ho come incognita q?
Anche mettendola a sistema con l'equazione della parabola non riuscirei a risolverla.
Grazie, Martina.
Comincia a metterla a sistema e provare a risolverlo (almeno il primo passo, fidati ... 
)
)
sistema:$y=x^2−5x+4$ e $y=-2x+q$
$-2x+q =x^2−5x+4$ --> $3x+q-x^2-4=0$ --> è un'equazione di 2° e inoltre ha come incognita anche la q.
Come procedo?
Grazie, Martina.
$-2x+q =x^2−5x+4$ --> $3x+q-x^2-4=0$ --> è un'equazione di 2° e inoltre ha come incognita anche la q.
Come procedo?
Grazie, Martina.
Scriviamola così che è meglio ...
${(y=x^2-5x+4),(y=-2x+q):}$
da cui
${(x^2-5x+4=-2x+q),(y=-2x+q):}$
e poi
${(x^2-3x+4-q=0),(y=-2x+q):}$
Come hai detto giustamente (ed anche fatto) è un'equazione di 2° grado.
Sappiamo dal testo che la retta deve essere tangente alla parabola, cioè hanno un solo punto in comune; perciò anche la soluzione del sistema dovrà darmi un'unica soluzione cioè un sola $x$ e una sola $y$.
Domanda: quale la condizione per cui un'equazione di 2° grado fornisce un'unica soluzione?
Cordialmente, Alex
${(y=x^2-5x+4),(y=-2x+q):}$
da cui
${(x^2-5x+4=-2x+q),(y=-2x+q):}$
e poi
${(x^2-3x+4-q=0),(y=-2x+q):}$
Come hai detto giustamente (ed anche fatto) è un'equazione di 2° grado.
Sappiamo dal testo che la retta deve essere tangente alla parabola, cioè hanno un solo punto in comune; perciò anche la soluzione del sistema dovrà darmi un'unica soluzione cioè un sola $x$ e una sola $y$.
Domanda: quale la condizione per cui un'equazione di 2° grado fornisce un'unica soluzione?
Cordialmente, Alex
Ho unìunica soluzione quando ho il delta =0
quindi 9-4(4-q)=0 --> 9-16+4q=0 --> q=7/4
Grazie, dell'aiuto sono riuscita a capire come fare.
Martina
quindi 9-4(4-q)=0 --> 9-16+4q=0 --> q=7/4
Grazie, dell'aiuto sono riuscita a capire come fare.
Martina
Brava! 
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Il problema è ormai risolto ma mi piace suggerire un altro metodo di soluzione, basato su una formuletta che pare si studi alle Superiori. Precisamente il coefficiente angolare $m$ dell'equazione della tangente alla parabola $y=ax^2+bx+c$ nel suo punto generico $P(x_o,y_o)$ è: $m=2ax_o +b$ ( una formula che può essere utile ricordare).
Nel nostro caso risulta: $a=1,b=-5, m=-2$ e quindi si ha la condizione :$-2=2x_o-5$ da cui $x_o=3/2$ che sostituito nell'equazione della parabola fornisce l'ordinata di $P$: $y_o=-5/4$
Pertanto l'equazione della tangente è :
$y+5/4=-2(x-3/2)$ da cui appunto : $y=-2x+7/4$
Nel nostro caso risulta: $a=1,b=-5, m=-2$ e quindi si ha la condizione :$-2=2x_o-5$ da cui $x_o=3/2$ che sostituito nell'equazione della parabola fornisce l'ordinata di $P$: $y_o=-5/4$
Pertanto l'equazione della tangente è :
$y+5/4=-2(x-3/2)$ da cui appunto : $y=-2x+7/4$
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