Parabola e asse di simmetria
Data una parabola [tex]y=ax^2+by+c[/tex] si chiede di dimostrare che possiede un asse di simmetria.
Partendo dalle equazioni di una simmetria assiale rispetto ad un asse [tex]a=-\frac{b}{2a}[/tex], sono riuscita a dimostrare che questo è l'asse di simmetria della parabola...ma credo mi si chieda piuttosto di dedurre che [tex]x=-\frac{b}{2a}[/tex] è l'asse di simmetria della parabola, come fare?
grazie in anticipo per il vostro aiuto
[mod="WiZaRd"]Aggiunti i tag TeX per le formule. Ricordo che dal 30-esimo messaggio l'uso del MathML o del TeX è obbligatorio. Grazie.[/mod]
Partendo dalle equazioni di una simmetria assiale rispetto ad un asse [tex]a=-\frac{b}{2a}[/tex], sono riuscita a dimostrare che questo è l'asse di simmetria della parabola...ma credo mi si chieda piuttosto di dedurre che [tex]x=-\frac{b}{2a}[/tex] è l'asse di simmetria della parabola, come fare?
grazie in anticipo per il vostro aiuto
[mod="WiZaRd"]Aggiunti i tag TeX per le formule. Ricordo che dal 30-esimo messaggio l'uso del MathML o del TeX è obbligatorio. Grazie.[/mod]
Risposte
Una funzione è simmetrica rispetto alla retta $x=h$ se $f(2h-x)=f(x)$,
quindi per dimostrare che la parabola è simmetrica rispetto alla retta $x=-b/(2a)$ devi dimostrare che $f(-b/a-x)=f(x)$, perciò
$y(-b/a-x)=a(-b/a-x)^2+b(-b/a-x)+c=a(b^2/a^2+2b/a x+x^2)-b^2/a -bx+c=b^2/a+2bx+ax^2-b^2/a-bx+c=ax^2+bx+c=y(x)$ verificato
quindi per dimostrare che la parabola è simmetrica rispetto alla retta $x=-b/(2a)$ devi dimostrare che $f(-b/a-x)=f(x)$, perciò
$y(-b/a-x)=a(-b/a-x)^2+b(-b/a-x)+c=a(b^2/a^2+2b/a x+x^2)-b^2/a -bx+c=b^2/a+2bx+ax^2-b^2/a-bx+c=ax^2+bx+c=y(x)$ verificato
sì, ma in questo modo dimostro ancora che x=-b/2a è l'asse di simmetria
mentre credo che mi si chieda di dedurre dall'equazione l'asse che, poi, guarda caso è proprio x=-b/2a....
mentre credo che mi si chieda di dedurre dall'equazione l'asse che, poi, guarda caso è proprio x=-b/2a....
Allora non avevo capito la tua richiesta.
Per trovare la retta che sia asse di simmetria della parabola basta applicare la simmetria rispetto alla retta $x=k$ ovvero calcolare $y(2k-x)$ e imporre che sia uguale alla funzione di partenza
$y(2k-x)=a(2k-x)^2+b(2k-x)+c=4ak^2-4akx+ax^2+2kb-bx+c=ax^2+(-4ak-b)x+4ak^2+2kb+c$ questa per essere uguale alla funzione di partenza deve avere tutti i coefficienti uguali, il coefficiente del termine di secondo grado lo è già, ma devono essere uguali anche i coefficienti del termine di primo grado, quindi $-4ak-b=b$, e il termine noto $4ak^2+2kb+c=c$. Dalla prima equazione si ottiene $k=-b/(2a)$ che verifica anche la seconda, dalla seconda equazione si ottengono 2 risultati, il solito $k=-b/(2a)$ che verifica anche la prima equazione e $k=0$ che è da scartare perché non verifica la prima equazione.
Per trovare la retta che sia asse di simmetria della parabola basta applicare la simmetria rispetto alla retta $x=k$ ovvero calcolare $y(2k-x)$ e imporre che sia uguale alla funzione di partenza
$y(2k-x)=a(2k-x)^2+b(2k-x)+c=4ak^2-4akx+ax^2+2kb-bx+c=ax^2+(-4ak-b)x+4ak^2+2kb+c$ questa per essere uguale alla funzione di partenza deve avere tutti i coefficienti uguali, il coefficiente del termine di secondo grado lo è già, ma devono essere uguali anche i coefficienti del termine di primo grado, quindi $-4ak-b=b$, e il termine noto $4ak^2+2kb+c=c$. Dalla prima equazione si ottiene $k=-b/(2a)$ che verifica anche la seconda, dalla seconda equazione si ottengono 2 risultati, il solito $k=-b/(2a)$ che verifica anche la prima equazione e $k=0$ che è da scartare perché non verifica la prima equazione.
scusami se domando ancora, ma f(2h-x)=f(x) da dove deriva? Perchè non l'ho mai visto prima...dalle equazioni delle trasformazioni?
Esattamente $x'=2h-x$ è l'equazione della simmetria rispetto ad una retta parallela all'asse y.
ah credo di aver capito! in sostanza dici che se una curva è simmetrica rispetto ad h, allora f(x) e f(x') saranno uguali, cioè le loro ordinate saranno uguali. tipo nella parabola, a x e x', simmetrici rispetto all'asse, hanno la stessa ordinata y!
Così allora?
Così allora?
Sì.
Grazie mille! Sei stata gentilissima! Ciao!
Prego, ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo