Parabola dati fuoco e direttrice obliqua
Come posso trovare l'equazione della parabola avente un certo fuoco e direttrice obliqua?
La devo 'ruotare' fino a portarla ad avere l'asse parallelo a quello delle ordinate?
La devo 'ruotare' fino a portarla ad avere l'asse parallelo a quello delle ordinate?
Risposte
"thedarkhero":
Come posso trovare l'equazione della parabola avente un certo fuoco e direttrice obliqua?
La devo 'ruotare' fino a portarla ad avere l'asse parallelo a quello delle ordinate?
Hai provato ad applicare la definizione? Non so se i calcoli risultano semplici, però.
L'alternativa è di usare una rototraslazione.
Se la direttrice è $y = mx + q$ devi operare una rotazione antioraria del sistema di riferimento di un angolo $arctg(m)$ ( se $m > 0$ ); in questo modo nel nuovo sistema di riferimento l'asse x sarà parallelo alla direttrice.
Applicando la definizione dovrei porre la distanza fuoco-punto uguale alla distanza punto-direttrice...ma essendo obliqua come determino la distanza punto-direttrice?
Esiste la formula della distanza punto-retta, no?
Se provi a postare i calcoli e dove ti incastri posso aiutarti.
Se provi a postare i calcoli e dove ti incastri posso aiutarti.
Il fuoco è $F(2,2)$ e la direttrice è $y=-x$.
Il generico punto della parabola è $P(x_P,y_P)$, uguaglio i quadrati delle distante $FP$ e $Pd$:
$(x_P-2)^2+(y_P-2)^2= ???$
Il generico punto della parabola è $P(x_P,y_P)$, uguaglio i quadrati delle distante $FP$ e $Pd$:
$(x_P-2)^2+(y_P-2)^2= ???$
"thedarkhero":
Il fuoco è $F(2,2)$ e la direttrice è $y=-x$.
Il generico punto della parabola è $P(x_P,y_P)$, uguaglio i quadrati delle distante $FP$ e $Pd$:
$(x_P-2)^2+(y_P-2)^2= ???$
$P(x , y)$ quindi:
$FP = sqrt( (x - 2)^2 + (y - 2)^2 )$
La direttrice $d$ in forma implicita è $x - y = 0$
$"distanza"(P,d) = |x - y|/sqrt(2)$ (la formula la trovi su un qualunque libro di geometria analitica)
$"distanza"(P,d) = FP$
Comunque sia dovrebbe esistere un unico punto del piano che soddisfa questa relazione : il fuoco stesso. Infatti il fuoco appartiene alla direttrice e la parabola che trovi è una parabola degenere.
Quest'ultima considerazione si vede bene se prendi una retta $r$ e un punto $F$ su essa. Considera $P$ un punto qualsiasi del piano che non appartiene alla retta. Chiama $H$ la proiezione di questo punto sulla retta $r$. Il triangolo $FHP$ è rettangolo in $H$; vale il teorema di Pitagora.
$FP^2 = PH^2 + FH^2$
Supponiamo che il triangolo non sia degenere, cioè $FH > 0$ e $PH > 0$.
Troviamo $FP^2 = PH^2 + FH^2 > PH^2$ da cui $FP > PH$.
Ma un punto $P$ appartiene alla parabola che ha fuoco $F$ e direttrice $r$ se la distanza del punto dalla retta ($PH$) è uguale alla distanza di $P$ da $F$ ($PF$).
Nelle ipotesi fatte nessun punto $P$ appartiene alla parabola, visto che $FP > PH$.
$FP^2 = PH^2 + FH^2$
Supponiamo che il triangolo non sia degenere, cioè $FH > 0$ e $PH > 0$.
Troviamo $FP^2 = PH^2 + FH^2 > PH^2$ da cui $FP > PH$.
Ma un punto $P$ appartiene alla parabola che ha fuoco $F$ e direttrice $r$ se la distanza del punto dalla retta ($PH$) è uguale alla distanza di $P$ da $F$ ($PF$).
Nelle ipotesi fatte nessun punto $P$ appartiene alla parabola, visto che $FP > PH$.
Ho capito il tuo ragionamento ma il fuoco non appartiene alla direttrice.
Grazie per la dritta della distanza punto retta
Grazie per la dritta della distanza punto retta
"thedarkhero":
Ho capito il tuo ragionamento ma il fuoco non appartiene alla direttrice.
Grazie per la dritta della distanza punto retta
Ops... Ho trascritto male. La direttrice in forma implicita è $y + x = 0$ e non $y - x = 0$.
Il discorso che ti ho fatto vale per la prima, non per la seconda.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo