Parabola , circonferenza, retta e tanto altro ancora =(
Scrivere l'equazione della parabola avente per asse di simmetria la retta $x=2$ e tangente nel punto A(4;0) a una retta r, parallela a $4x+y-10=0$.inscrivere un rettangolo nella parte di piano limitata dall'arco di parabola, giacente nel primo quadrante, e calcolare le coordinate dei vertici B e Cdel rettangolo che stanno sulla parabola, conoscendo la misura 10 del perimetro del rettangolo. Scrivere le equazioni delle rette tangenti in B e in C alla parabola è calcolare la misura dell'aria del triangolo da esse formato con la retta r.
Non ho capito nulla di questo problema, potreste spiegarmi il procedimento?
Non ho capito nulla di questo problema, potreste spiegarmi il procedimento?
Risposte
suppongo che il problema sia nel capire il testo. allora provo a tradurre, dando anche una scansione al procedimento:
- trovare la retta r: è la retta passante per A e parallela a quella di equazione data;
- osservare che l'origine è il simmetrico di A sulla parabola;
- utilizzare l'asse di simmetria e le condizioni di tangenza per trovare l'equazione della parabola;
- se $x$ è l'ascissa di B o di C, ti puoi ricavare la base del rettangolo (l'altezza è $y$), e imporre $"base+altezza"=5$;
- ti puoi successivamente ricavare le tangenti alla parabola in B e C, che incontreranno l'asse in uno stesso punto $D$;
- D è un vertice del triangolo di cui si parla, gli altri due vertici li trovi mettendo a sistema le equazioni delle due tangenti (una per volta) con la retta r.
spero di aver chiarito. prova e facci sapere. ciao.
- trovare la retta r: è la retta passante per A e parallela a quella di equazione data;
- osservare che l'origine è il simmetrico di A sulla parabola;
- utilizzare l'asse di simmetria e le condizioni di tangenza per trovare l'equazione della parabola;
- se $x$ è l'ascissa di B o di C, ti puoi ricavare la base del rettangolo (l'altezza è $y$), e imporre $"base+altezza"=5$;
- ti puoi successivamente ricavare le tangenti alla parabola in B e C, che incontreranno l'asse in uno stesso punto $D$;
- D è un vertice del triangolo di cui si parla, gli altri due vertici li trovi mettendo a sistema le equazioni delle due tangenti (una per volta) con la retta r.
spero di aver chiarito. prova e facci sapere. ciao.
mi hanno aiutato e mi hanno detto che:
La retta in forma esplicita è: y = -4x + 10
retta generica ad essa parallela: y= -4x + k
retta PARALLELA e passante per A(4; 0) deve soddisfare a: 0 = -16 + k... ergo k=16
Parabola generica è: y = ax² + bx + c
asse di simmetria x=2 . . significa che -b/2a = 2 . . quindi b=-4a
Anche la parabola passa per A(4; 0)... e dovrei sostituire 4 e 0 ad x ed y per trovare una altra relazione. Ma siccome x=2 è asse di simmetria, la parabola passa anche per O(0;0)
sostituendo questo punto, che è più facile... trovo c=0
Rimane da sfruttare la tangenza tra la retta e la parabola...
La retta, ricordiamo, è y=-4x+16
La parabola è: y=ax² - 4ax
metto le due equazioni a sistema, e IMPONGO DELTA = 0... che è la condiz di tangenza
-4x + 16 = ax² - 4ax
ax² - 4x (a -1) - 16=0
DELTA = 16 (a-1)² + 4 * 16 * a = 16 [(a-1)² + 4a] = 16 [(a+1)²]
nel calcolo del DELTA ho raccolto il 16 per non avere valori troppo grandi. Non sempre dobbiamo eseguire brutalmente e pedestremente tutti i calcoli. Inoltre avrei anche potuto calcolare DELTA quarti...
il DELTA è =0 . . per a=-1
ricordando che b=-4a... viene b=4
la equaz della parabola è: y = -x² + 4x
A questo punto puoi disegnare la Parabola. Taglia l'asse x in O e A... Il Vertice V è in (2; 4)
la concavità OVVIAMENTE è verso il basso
Adesso inizia la parte seria dell' esercizio. Disegna un qualsiasi rettangolo inscritto nella parte alta della parabola.
Segna i punti B e C sulla parabola... e chiama H e K le loro proiezioni sull' asse x (che sono anche gli altri 2 vertici del rettangolo).
Dobbiamo trovare le "dimensioni" di questo rettangolo, affinché il suo perimetro sia 10.
Per risolvere questo tipo di problemi... si fa così:
Chiama W il punto (2; 0)
Chiamiamo x (oppure t, come preferisci) la lunghezza di OH.
Chiaramente dobbiamo imporre delle limitazioni, e precisamente 0 < x < 2. Guarda sempre la figura mentre si fanno queste elucubrazioni! H deve essere compreso tra O e W...
se OH vale x... quanto valgono gli altri elementi della figura?
HW = 2-x
HK = 2 HW = 2 (2-x)
L'importante è CAPIRE QUESTO: che HB = x² - 4x
perché è il valore della parabola nel punto x..
E' il punto più delicato dell' esercizio. Se ti è chiaro, siamo a cavallo... se non ti è chiaro, fattelo spiegare da qualcuno perché è il punto cardine non solo di questo esercizio, ma di tutti gli esercizi di geometria analitica!
Potreste spiegarmi la parte in rosso ? tutto il resto è chiaro.
La retta in forma esplicita è: y = -4x + 10
retta generica ad essa parallela: y= -4x + k
retta PARALLELA e passante per A(4; 0) deve soddisfare a: 0 = -16 + k... ergo k=16
Parabola generica è: y = ax² + bx + c
asse di simmetria x=2 . . significa che -b/2a = 2 . . quindi b=-4a
Anche la parabola passa per A(4; 0)... e dovrei sostituire 4 e 0 ad x ed y per trovare una altra relazione. Ma siccome x=2 è asse di simmetria, la parabola passa anche per O(0;0)
sostituendo questo punto, che è più facile... trovo c=0
Rimane da sfruttare la tangenza tra la retta e la parabola...
La retta, ricordiamo, è y=-4x+16
La parabola è: y=ax² - 4ax
metto le due equazioni a sistema, e IMPONGO DELTA = 0... che è la condiz di tangenza
-4x + 16 = ax² - 4ax
ax² - 4x (a -1) - 16=0
DELTA = 16 (a-1)² + 4 * 16 * a = 16 [(a-1)² + 4a] = 16 [(a+1)²]
nel calcolo del DELTA ho raccolto il 16 per non avere valori troppo grandi. Non sempre dobbiamo eseguire brutalmente e pedestremente tutti i calcoli. Inoltre avrei anche potuto calcolare DELTA quarti...
il DELTA è =0 . . per a=-1
ricordando che b=-4a... viene b=4
la equaz della parabola è: y = -x² + 4x
A questo punto puoi disegnare la Parabola. Taglia l'asse x in O e A... Il Vertice V è in (2; 4)
la concavità OVVIAMENTE è verso il basso
Adesso inizia la parte seria dell' esercizio. Disegna un qualsiasi rettangolo inscritto nella parte alta della parabola.
Segna i punti B e C sulla parabola... e chiama H e K le loro proiezioni sull' asse x (che sono anche gli altri 2 vertici del rettangolo).
Dobbiamo trovare le "dimensioni" di questo rettangolo, affinché il suo perimetro sia 10.
Per risolvere questo tipo di problemi... si fa così:
Chiama W il punto (2; 0)
Chiamiamo x (oppure t, come preferisci) la lunghezza di OH.
Chiaramente dobbiamo imporre delle limitazioni, e precisamente 0 < x < 2. Guarda sempre la figura mentre si fanno queste elucubrazioni! H deve essere compreso tra O e W...
se OH vale x... quanto valgono gli altri elementi della figura?
HW = 2-x
HK = 2 HW = 2 (2-x)
L'importante è CAPIRE QUESTO: che HB = x² - 4x
perché è il valore della parabola nel punto x..
E' il punto più delicato dell' esercizio. Se ti è chiaro, siamo a cavallo... se non ti è chiaro, fattelo spiegare da qualcuno perché è il punto cardine non solo di questo esercizio, ma di tutti gli esercizi di geometria analitica!
Potreste spiegarmi la parte in rosso ? tutto il resto è chiaro.
siamo di fatto al quarto punto dell'elenco mio precedente.
le proiezioni di B e di C sull'asse x sono una compresa tra O e W e l'altra compresa tra W e A.
se chiami $x$ l'ascissa della prima, l'ascissa della seconda, per la simmetria del problema, sarà $4-x$, e il valore della $y$ sarà lo stesso in entrambi i casi.
fin qui è chiaro? comunque puoi anche verificare: $y=-x^2+4x$, $y=-(4-x)^2+4(4-x)->y=-16-x^2+8x+16-4x->y=-x^2+4x$
poi ti dicevo: $"base+altezza"=5$
base= $|(4-x)-x|=|4-2x|=|2x-4|$ = $4-2x$ se x è l'ascissa minore, ovvero $2x-4$ se x è l'ascissa maggiore
altezza=valore dell'ordinata=$-x^2+4$
dunque $4-2x-x^2+4=5->x^2+2x-3=0$ supponendo $x$ l'ascissa minore -> $x=1$ valore accettabile, da cui l'altra soluzione $4-x=3$ e $y=3$
i punti B e C sono $(1,3)$ e $(3,3)$.
spero sia chiaro, e di aver risposto almeno a quello che chiedevi. ciao.
le proiezioni di B e di C sull'asse x sono una compresa tra O e W e l'altra compresa tra W e A.
se chiami $x$ l'ascissa della prima, l'ascissa della seconda, per la simmetria del problema, sarà $4-x$, e il valore della $y$ sarà lo stesso in entrambi i casi.
fin qui è chiaro? comunque puoi anche verificare: $y=-x^2+4x$, $y=-(4-x)^2+4(4-x)->y=-16-x^2+8x+16-4x->y=-x^2+4x$
poi ti dicevo: $"base+altezza"=5$
base= $|(4-x)-x|=|4-2x|=|2x-4|$ = $4-2x$ se x è l'ascissa minore, ovvero $2x-4$ se x è l'ascissa maggiore
altezza=valore dell'ordinata=$-x^2+4$
dunque $4-2x-x^2+4=5->x^2+2x-3=0$ supponendo $x$ l'ascissa minore -> $x=1$ valore accettabile, da cui l'altra soluzione $4-x=3$ e $y=3$
i punti B e C sono $(1,3)$ e $(3,3)$.
spero sia chiaro, e di aver risposto almeno a quello che chiedevi. ciao.
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