Ordine infinitesimi

[lima471]

Sto cercando di stabilire l'ordine dell'infinitesimo f(x) = 3^(1/x) per x->0-. Ho calcolato il limite per x->0- della funzione
f(x) = [3^(1/x)/x] e, se non ho fatto errori, dà 0. Sembrerebbe che questo risultato indichi semplicemente che 3^(1/x) è un infinitesimo di ordine superiore a 1. A me, tuttavia, interessa calcolare il preciso ordine dell'infinitesimo in questione.
Qualcuno può gentilmente aiutarmi? Grazie a tutti in anticipo.

[quantunquemente]

consideriamo $ lim_(x -> 0^-) 3^(1/x)/x^n $
posto $z=-1/x$,il limite precedente coincide con $ lim_(z -> +infty) 3^(-z)/(-1/z)^n=lim_(z -> +infty)(-z)^n/3^z=0,forallnin mathbbN $
a te la conclusione

[lima471]

Ti ringrazio moltissimo per la cortese risposta. Sembrerebbe, dunque, che non sia possibile calcolare un ordine specifico dell'infinitesimo....dal momento che per qualunque valore di n (nell'ambito dei numeri naturali) non otterrei mai, come risultato del limite un numero K diverso da 0. E' questa la conclusione?

[quantunquemente]

ovvero ,la funzione è un infinitesimo di ordine superiore ad ogni $n in mathbbN$ ( è l'infinitesimo più veloce del west )

[lima471]

Ancora una gentilezza, puoi spiegarmi nel dettaglio come hai calcolato il valore del limite [0] nell'ultimo passaggio? Non mi è ancora chiaro.

[quantunquemente]

ho applicato un risultato noto
$ lim_(x -> +infty) x^n/a^x=0 $ con $a>1$
e lo si dimostra applicando (in teoria,non c'è bisogno di farlo praticamente) $n$ volte la regola di de L'Hopital

p.s. il fatto che nel nostro esercizio ci sia un $-$ è ovviamente ininfluente

[lima471]

Quindi una specie di "limite notevole" aggiuntivo che non conoscevo. Ti ringrazio molto per l'aiuto che mi hai dato.