Operazioni sui naturali
Spero sia la sezione giusta.
I numeri naturali sono definiti assumendo che lo $0$ definisca una classe di equipotenza $card(emptyset)$; poi viene definito il successivo di un insieme $A$ (indicato con $A^+$)come l'insieme ottenuto aggiungendo $A$ stesso ai singoli elementi di $A$, cioè:
$A^+ = A uu {A} = {A;{A}}$.
Quindi, per es., l'$1$ viene definito così:
$1= card(emptyset^+) = card({emptyset}) = card ({0}). $
In sostanza l'insieme dei naturali viene ordinato mediante la relazione di appartenenza $in$. Per es. $0<1$ equivale al fatto che l'insieme $emptyset$ è contenuto nell'inseme di cardinalità $1$ (che è appunto il naturale $1$).
Il mio dubbio riguarda proprio questo. L'operazione di somma viene definita così. Siano $a$ e $b$ $in NN$ e $A,B$ due insiemi con $card(A)= a$ e $card(B) = b$. Si scelgono $A$ e $B$ disgiunti e si pone
$n+m = card (A uu B)$.
Ora, com'è possibile scegliere due insiemi disgiunti se i naturali sono stati ordinati proprio tramite la relazione di appartenenza $in$?
I numeri naturali sono definiti assumendo che lo $0$ definisca una classe di equipotenza $card(emptyset)$; poi viene definito il successivo di un insieme $A$ (indicato con $A^+$)come l'insieme ottenuto aggiungendo $A$ stesso ai singoli elementi di $A$, cioè:
$A^+ = A uu {A} = {A;{A}}$.
Quindi, per es., l'$1$ viene definito così:
$1= card(emptyset^+) = card({emptyset}) = card ({0}). $
In sostanza l'insieme dei naturali viene ordinato mediante la relazione di appartenenza $in$. Per es. $0<1$ equivale al fatto che l'insieme $emptyset$ è contenuto nell'inseme di cardinalità $1$ (che è appunto il naturale $1$).
Il mio dubbio riguarda proprio questo. L'operazione di somma viene definita così. Siano $a$ e $b$ $in NN$ e $A,B$ due insiemi con $card(A)= a$ e $card(B) = b$. Si scelgono $A$ e $B$ disgiunti e si pone
$n+m = card (A uu B)$.
Ora, com'è possibile scegliere due insiemi disgiunti se i naturali sono stati ordinati proprio tramite la relazione di appartenenza $in$?
Risposte
Se $0$ è una classe di insiemi equipotenti, perché gli altri naturali non dovrebbero esserlo?
Ripensandoci adesso, in effetti non mi sembra di vedere una contraddizione.
Per esempio, se volessi fare $1+2$ applicando la definizione otterrei:
$1+2= card({0}, {0,1}) = card ({emptyset,{emptyset}, {emptyset,{emptyset}}}) = card ({0,1,2})$.
Per esempio, se volessi fare $1+2$ applicando la definizione otterrei:
$1+2= card({0}, {0,1}) = card ({emptyset,{emptyset}, {emptyset,{emptyset}}}) = card ({0,1,2})$.
Il simbolo che cercavi è questo $emptyset$, ovvero "insieme vuoto" in inglese.
@Melia grazie.
Ah, però questa cosa non mi è ancora chiara. Due insiemi $A, B in NN$ non potranno mai essere disgiunti per come è stato definito il successivo di un insieme.
Sbaglio a considerare gli insiemi $A$ e $B$ che compaiono nella definizione di somma come appartenenti ai numeri naturali?
Sbaglio a considerare gli insiemi $A$ e $B$ che compaiono nella definizione di somma come appartenenti ai numeri naturali?
"gugo82":
Se $0$ è una classe di insiemi equipotenti, perché gli altri naturali non dovrebbero esserlo?
Tanto per capirci, $1$ è la classe di insiemi equipotenti a \(\{\varnothing\}\), quindi contiene insiemi del tipo $\{ x\}$ con $x$ qualsiasi; dunque anche \(\{\{\varnothing\}\}\) è un $1$ (poiché l’applicazione \(\varnothing \mapsto \{\varnothing\}\) è una biiezione di \(\{\varnothing\}\) in \(\{\{\varnothing\}\}\)) diverso dal rappresentante “più semplice” \(\{\varnothing\}\) e disgiunto da esso.
A questo punto, capisci da te che $1+1$ è definibile come la classe di equipotenza dell’unione \(\{\varnothing\}\cup \{\{\varnothing\}\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\) ottenuta da due rappresentanti disgiunti della classe $1$.
P.S.: Se posso essere sincero, fossi in te non mi concentrerei molto su queste cose, ché per comprenderle a fondo c’è bisogno di un po’ di maturità matematica.
Ok, ora mi è un po' più chiara la cosa.
Grazie per la delucidazione comunque!
Grazie per la delucidazione comunque!
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