Nuovo thread limite rapporto incrementale

[ramarro1]

Allora gli esercizi erano 2
1)Usando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale calcolare $f'(2)$ dove $f(x)=x^3$
mi risulta $(h/h)(h^2+6h+12)$
$lim_(h->0)h^2+6h+12=12$
2)Calcolare il rapporto incrementale di $f(x)=1+e^(1/x)$ in $xo=1$
arrivo a avere $(e^(1/(1+h))-e)/h$

[minomic]

Ok, parto dal secondo perché l'ho già risolto...
Lo scopo è utilizzare il limite notevole \[
\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1
\] Consideriamo \[
\frac{e^{\frac{1}{1+h}}-e}{h}
\] e facciamo i seguenti passaggi: \[
\frac{e\left(
e^{\frac{1}{1+h}-1}-1
\right)}{h} =
\frac{e\left(
e^{-\frac{h}{1+h}}-1
\right)}{-\frac{h}{1+h}} \cdot\left(-\frac{1}{1+h}\right)
\] A questo punto, se $h -> 0$ allora anche $-(h)/(1+h) -> 0$, quindi si può applicare il limite notevole citato sopra. Infine l'ultima parentesi tende a $-1$.

In conclusione il risultato del limite è $e*1*(-1) = -e$.

[ramarro1]

scusa potrei usare de l'hopital?noi veramente conosciamo si ilimiti notevoli, ma quello che hai scritto è gia qualcosa di un livello superiore....credo che dobbiamo limitarci a usare de l'hopital per quanto concerne il nostro corso.....non è ingengeria quella che faccio...non so tipo cosi: $e^(1/(1+h))(-(h+1)^(-2))$
poi dovrebbe risultare $-e$ va bene?

[minomic]

Usa quello che vuoi... basta che venga!

[minomic]

Per quanto riguarda il primo esercizio, è corretto. Quando passi al limite ottieni $12$, che infatti è proprio il valore assunto da $3x^2$ in corrispondenza di $x=2$.

[ramarro1]

grazie tante....adesso sono andato a riguardare i sistemi lineari e ora scrivo una ltro messaggio nell altro thread