Numero primo
Come si dimostra che non esiste alcun numero razionale tale che il suo quadrato è p, dove p è un numero primo? GRAZIE MILLE!
Risposte
Si dimostra per assurdo: supponiamo che esistano $a,b in NN$ coprimi tali che $(a/b)^2= p$.
Allora $a^2 = p b^2$. Questo ci dice che $p$ è un divisore di $a^2$, e poichè $p$ è un numero primo è un divisore di $a$.
Quindi possiamo dire che esiste $k in NN$ tale che $a = k*p$.
Quindi $p=(a/b)^2= ((kp)/b)^2= (k^2 p^2)/b^2$, dunque $pb^2=k^2p^2$, cioè $b^2 = k^2p$.
Quindi $p$ è un divisore di $b$.
Abbiamo ottenuto che $p$ è contemporaneamente un divisore di $a$ e di $b$. Ma allora $a$ e $b$ non sono coprimi.
Assurdo
Allora $a^2 = p b^2$. Questo ci dice che $p$ è un divisore di $a^2$, e poichè $p$ è un numero primo è un divisore di $a$.
Quindi possiamo dire che esiste $k in NN$ tale che $a = k*p$.
Quindi $p=(a/b)^2= ((kp)/b)^2= (k^2 p^2)/b^2$, dunque $pb^2=k^2p^2$, cioè $b^2 = k^2p$.
Quindi $p$ è un divisore di $b$.
Abbiamo ottenuto che $p$ è contemporaneamente un divisore di $a$ e di $b$. Ma allora $a$ e $b$ non sono coprimi.
Assurdo
grazie mille!
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