Numero elevato a frazione

[paperino001]

Salve, perchè un numero elevato a una frazione è uguale alla radice con indice uguale al denominatore ecc.. ? si può dimostrare o è solo una definizione ?

grazie

[giammaria2]

Cominciamo a precisare che è vero nell'ambito dei numeri positivi. Te lo spiego con un esempio numerico, perché di solito gli studenti trovano i numeri più facili delle lettere.
Abbiamo $x=7^(2/5)$
ed elevando alla quinta si ottiene $x^5=(7^(2/5))^5->x^5=7^(2/5*5)-> x^5=7^2$
Estraendo la radice quinta si ottiene $x=root(5)(7^2)$
Ma $x$ era il numero iniziale, quindi $7^(2/5)=root(5)(7^2)$

[paperino001]

quando penso all'elevamento a potenza mi viene in mente di moltiplicare la base per se stessa tante volte quanto vale l'esponente.

$x = 7^5$
moltiplicare il sette per se stesso 5 volte

$x = 7^(3/5)$
moltiplicare il 7 per se stesso 0.6 volte ??

[giammaria2]

Quello a cui pensi è la prima definizione di potenza e continua a valere quando l'esponente è un numero naturale. Il concetto di potenza è però stato esteso anche ad esponenti di altro tipo, a condizione che continuino a valere le proprietà delle potenze: l'esponente può quindi essere un numero qualsiasi, rinunciando alla definizione "che viene in mente". Forse hai già studiato (altrimenti lo farai a breve) il significato di formule come $7^0$ oppure $5^-2$ ed anche per queste non non si può parlare di un prodotto ripetuto.