Numero aureo

[welcome95]

Buongiorno a tutti,
partecipo ad un concorso di matematica e il tema del concorso è il numero aureo. Raccogliendo il materiale sia in internet che cartaceo ho trovato tanta confusione riguardo questo argomento; infatti molti chiamano il numero aureo anche sezione aureo che però da definizione è una cosa completamente diversa anche se relazionata.
Volevo chiedervi se mi potevate chiarire questa cosa.
Graziee

[Stellinelm]

Credo che la differenza sta nel fatto che il numero aureo deriva dalla sezione aurea e non viceversa .
Con sezione aurea si indica un rapporto fra due "robe" non uguali :
ad esempio ,
se prendi un segmento $AC$, si ottiene una sezione aurea quando il tratto più corto $BC$ sta al tratto più lungo $AB$
come il tratto più lungo $AB$ sta al segmento intero $AC$ .
Il rapporto tra il segmento considerato e la sua parte aurea è detto numero aureo .

p.s. :
Prendi con le pinze ciò che ho detto perchè la mia fonte è data dal ricordo di un documentario dal titolo proporzione divina ,
perciò ti chiedo scusa anticipatamente , estendendole a tutto il forum , qualora mi sbagliassi .

[Pianoth]

"Stellinelm":Con sezione aurea si indica un rapporto fra due "robe" non uguali :

Cerchiamo di essere più rigorosi...
Dato un segmento $b$, posso trovare un segmento $a$ tale che la lunghezza di esso sia media proporzionale tra $b$ e la somma di $a$ e $b$? Ovvero, posso trovare un segmento $a$ tale che valga la relazione $a/b = (a+b)/a$?
Supponiamo che esiste questo segmento $a$ e chiamiamo $\phi$ il rapporto tra $a$ e $b$ (tra l'altro, "Sezione aurea" e "Numero aureo" sono sinonimi, non c'è differenza di significato, in inglese viene chiamato "The Golden Ratio", che tradotto letteralmente significa "Proporzione dorata", ma in realtà significa "Proporzione divina").
Proviamo ora a trovare il valore di $\phi$. Innanzitutto riscriviamo la relazione di prima:
$a/b = (a+b)/a$
Notiamo che la frazione a destra può anche essere scritta in questa maniera:
$a/b = 1 + b/a$
Ora sostituiamo $\phi$ nell'equazione. Sappiamo che $\phi = a/b$, quindi $b/a = 1/\phi$:
$\phi = 1 + 1/\phi$
Prima di andare avanti ti faccio notare una interessante definizione di $\phi$ che si ottiene semplicemente continuando a sostituire $\phi$ nel secondo membro di quest'uguaglianza qui sopra con lo stesso secondo membro:
$\phi = 1 + 1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+\ldots))))$
Comunque questa è una semplice equazione di secondo grado, possiamo semplicemente moltiplicare entrambi i membri per $\phi$:
$\phi^2 = \phi + 1$
Prima di risolvere ti faccio notare una seconda definizione interessante di $\phi$ che si ottiene allo stesso modo di prima:
$\phi = sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+\ldots)))))$
Ora pensiamo a risolvere per $\phi$ con la classica formula risolutiva per le equazioni di secondo grado (prendendo però solo la soluzione positiva, dato che $\phi$ è un rapporto di lunghezze di segmenti, che non possono essere negative):
$\phi = (1+sqrt(1+4))/2 = (1+sqrt(5))/2$
E questo è proprio il valore esatto di $\phi$, che arrotondato è circa pari a $1.61803398874989484820458683436563811772\ldots$
Se riguardi i passaggi che abbiamo fatto per arrivare al valore di $\phi$ scoprirai varie informazioni interessanti, per esempio al passaggio:
$\phi = 1 + 1/\phi$
Capisci che calcolare $1/\phi$ è molto semplice, perché è semplicemente pari a $\phi - 1$ (e tale valore viene spesso scritto come $\phi$ maiuscola, ovvero $\Phi$). Inoltre al passaggio:
$\phi^2 = \phi + 1$
Capisci anche che calcolare $\phi^2$ è molto semplice, perché è semplicemente pari a $\phi + 1$...
Inoltre, dovresti già sapere molte altre proprietà di $\phi$, per esempio i rapporti fra due termini successivi della successione di Fibonacci approssimano $\phi$ sempre meglio (più alti sono meglio lo approssimano), inoltre considerando potenze di $\phi^n$ sempre più grandi si ottiene un numero sempre più vicino a un numero intero (questa cosa è stata anche discussa e se non sbaglio anche dimostrata su questo stesso forum)... Ha anche molte proprietà geometriche, si trova ovunque! Perfino nella musica e ovunque nella natura. Puoi trovare altre informazioni su internet e ovunque.
Spero che questo ti possa essere utile.