Numeri Complessi : Esercizi da esame.
Ciao a tutti ragazzi, ho avuto un pò di problemia anche con degli esercizi da esame riguardante i numeri complessi.
Se non vi dispiace, vi posto le 3 tracce che mi hanno spiazzato, con i miei procedimenti (con tanto di "blocco", perchè non sono riuscito ad andare più avanti purtroppo), mi scuso del disturbo che vi sto arrecando in questi giorni, ma è importante per me capire bene queste cose.
Esercizo 1) Calcolare le soluzione dell'equazione
$Z^3$ $=$ $ i/(1-i)$
e rappresentare sul piano di Gauss
Già all'inizio dell'esercizio ho dei dubbi. Ho provato a fare così:
$z^3$ $=$ $i/(1-i)$
$(X+iY)^3$ $=$ $i(1+i)/(1-i)(1+i)$ $=$ $(1^2 + i)/(1-i^2)$
$ Z^3 = (-1 +i )/2 $
visto che la traccia ha $Z^3$ ho deciso di svolgere la regola delle potenze:
$Z^3$ = $(-1 +i)/2 $ =$ (-1/2 + i/2)$
$\rho$ = $ sqrt i/2 $
quindi $cos \theta$ = $a/\rho$ = $ - (1/2)/sqrt (1/2)$
$sen \theta$ = $b/ (\roh)$ = $ (1/2)/sqrt (1/2)$
e mi sono bloccato, non riuscendo a trovare l'angolo. (sempre se sia questo il procedimento giusto, ad un certo punto ho pensato di elevare il secondo membro alla terza, per trovare $Z$ =$ [i/(1-i)]^3$
poi ci sono altri esercizi, come
$ i z^-$ + $7-5 = (i-1)/i+1$ ... e poi mi chiede di tracciare il grafico di z,z coniugato, iz+4..
avendo nella traccia solamente Z coniugato, pensavo di svolgere i calcoli e dividere tutto in parti reali e immaginarie, ma non ne sono sicuro, potete aiutarmi?
Se non vi dispiace, vi posto le 3 tracce che mi hanno spiazzato, con i miei procedimenti (con tanto di "blocco", perchè non sono riuscito ad andare più avanti purtroppo), mi scuso del disturbo che vi sto arrecando in questi giorni, ma è importante per me capire bene queste cose.
Esercizo 1) Calcolare le soluzione dell'equazione
$Z^3$ $=$ $ i/(1-i)$
e rappresentare sul piano di Gauss
Già all'inizio dell'esercizio ho dei dubbi. Ho provato a fare così:
$z^3$ $=$ $i/(1-i)$
$(X+iY)^3$ $=$ $i(1+i)/(1-i)(1+i)$ $=$ $(1^2 + i)/(1-i^2)$
$ Z^3 = (-1 +i )/2 $
visto che la traccia ha $Z^3$ ho deciso di svolgere la regola delle potenze:
$Z^3$ = $(-1 +i)/2 $ =$ (-1/2 + i/2)$
$\rho$ = $ sqrt i/2 $
quindi $cos \theta$ = $a/\rho$ = $ - (1/2)/sqrt (1/2)$
$sen \theta$ = $b/ (\roh)$ = $ (1/2)/sqrt (1/2)$
e mi sono bloccato, non riuscendo a trovare l'angolo. (sempre se sia questo il procedimento giusto, ad un certo punto ho pensato di elevare il secondo membro alla terza, per trovare $Z$ =$ [i/(1-i)]^3$
poi ci sono altri esercizi, come
$ i z^-$ + $7-5 = (i-1)/i+1$ ... e poi mi chiede di tracciare il grafico di z,z coniugato, iz+4..
avendo nella traccia solamente Z coniugato, pensavo di svolgere i calcoli e dividere tutto in parti reali e immaginarie, ma non ne sono sicuro, potete aiutarmi?
Risposte
Tutto bene fino a $z^3=-1/2+1/2i$,.
Poi: $rho=sqrt(1/4+1/4)=sqrt(1/2)=1/sqrt2$ (lo hai scritto sbagliato, ma vedo che lo usi giusto)
e quindi $z^3=1/sqrt2(-sqrt2/2+sqrt2/2i)$
da cui deduci $theta=(3pi)/4$. Sai continuare?
Ti sei scoraggiato tropo presto: ti bastava moltiplicare il numeratore per l'inverso del denominatore ed ottenevi
$cos theta=-1/2*sqrt2=-sqrt2/2$ e analoga.
Poi: $rho=sqrt(1/4+1/4)=sqrt(1/2)=1/sqrt2$ (lo hai scritto sbagliato, ma vedo che lo usi giusto)
e quindi $z^3=1/sqrt2(-sqrt2/2+sqrt2/2i)$
da cui deduci $theta=(3pi)/4$. Sai continuare?
Ti sei scoraggiato tropo presto: ti bastava moltiplicare il numeratore per l'inverso del denominatore ed ottenevi
$cos theta=-1/2*sqrt2=-sqrt2/2$ e analoga.
Grazie mille Giammaria ^__^
quindi ora dovrei continuare così:
$z^3$ = $(1/sqrt2)^3 (cos3 3/4 pi + i sen 3 3/4 pi)$
e poi calcolare il $ cos (9/4 pi) + sen (9/4 pi) $ giusto?
per trovare quel valore senza controllare sulle tabelle come potrei fare? (scusate per tutte queste domande ._.)
quindi ora dovrei continuare così:
$z^3$ = $(1/sqrt2)^3 (cos3 3/4 pi + i sen 3 3/4 pi)$
e poi calcolare il $ cos (9/4 pi) + sen (9/4 pi) $ giusto?
per trovare quel valore senza controllare sulle tabelle come potrei fare? (scusate per tutte queste domande ._.)
No: sarebbe così se tu avessi $z$ e volessi $z^3$, ma sei nel caso opposto. Devi calcolare
- il modulo di $z$, che è $root(3)(1/sqrt2)=1/root(6)2$
- il suo argomento, che è $(3/4pi+2kpi)/3$
Assegnando a $k$ i valori 0, 1, 2 e facendo i calcoli trovi le tre radici cubiche.
Aggiungo la risposta alla tua domanda:
$cosfrac(9pi) 4=cos(2pi+pi/4)=cos frac pi 4=sqrt2/2$
- il modulo di $z$, che è $root(3)(1/sqrt2)=1/root(6)2$
- il suo argomento, che è $(3/4pi+2kpi)/3$
Assegnando a $k$ i valori 0, 1, 2 e facendo i calcoli trovi le tre radici cubiche.
Aggiungo la risposta alla tua domanda:
$cosfrac(9pi) 4=cos(2pi+pi/4)=cos frac pi 4=sqrt2/2$
Ti ringrazio ^__^ ora è tutto più chiaro!
Un ultima domanda se posso,
$ i z^-$ + $7-5 = (i-1)/i+1$
in questo esercizio, come trovo $Z$ avendo solamente iZ coniugato?
Un ultima domanda se posso,
$ i z^-$ + $7-5 = (i-1)/i+1$
in questo esercizio, come trovo $Z$ avendo solamente iZ coniugato?
Comincia a calcolare $bar z$ fino ad una formula del tipo $barz=a+ib$; poi ricavi $z=a-ib$.
Il simbolo $bar z$ si ottiene con bar z.
Il simbolo $bar z$ si ottiene con bar z.
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