Numeri complessi

[icchia-votailprof]

salve Ragazzi
il mio prof. ci ha proprosto degli esercizi sui numeri complessi ma svolgendoli sbaglio qualcosa.
inizio dal primo:
Verificare che
$\frac {(2+i)^2 +(1-i)^2}{1-\frac{3i}{2}}=2i$

svolgimento:
$\frac{4-1+2i+1-1-2i}{\frac{2-3i}{2}}=2i$
$\frac{3}{\frac{2-3i}{2}}=2i$

$\frac{6}{2-3i}=2i$

???

secondo esercizio:
Calcolare le radici complesse:
$^4\sqrt {-1} $

Cosa devo fare?

[Seneca1]

1) Hai sbagliato calcolando questo prodotto: $(2 + i)^2 = 4 + 4 i - 1$

2) Imponi:

$( \rho * e^(i theta) )^4 = e^( pi i + 2 k pi i )$

Ho corretto il punto 2).

[gio73]

$root4(-1)=sqrt(sqrt-1)=sqrti$
di conseguenza devo trovare la radice quadrata di i, scrivo il numero complesso nella forma $a+bi$ e dico
$(a+ib)^2=i$
$a^2+2abi +i^2b^2=i$
$a^2+2abi-b^2=i$
allora affinchè la parte reale si annulli $a^2-b^2=0$
poi il coefficente della i, 2ab, deve venire 1 cioè $2ab=1$
puoi terminare?

[21zuclo]

"Icchietta":
Calcolare le radici complesse:
$^4\sqrt {-1} $

\(\displaystyle \sqrt[4]{-1} \) è come scrivere \(\displaystyle z^4=-1 \)

a sto punto \(\displaystyle -1=\cos (\pi)+\imath \sin(\pi)\) in forma trigonometrica, ma in molti casi è più facile la forma esponenziale, in questo caso \(\displaystyle -1=e^{\imath (\pi)} \)

e adesso si usa la formula delle radici di un numero complesso [size=150]\(\displaystyle \rho^{\frac{1}{n}} e^{\imath \left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)} \)[/size] con \(\displaystyle k=0,1,...........,n-1 \)

nel tuo caso è [size=150] \(\displaystyle e^{\imath \left(\frac{\pi+2k\pi}{4}\right)} \) [/size] con \(\displaystyle k=0,1,2,3 \)

e per \(\displaystyle k=0 \rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}\)

se lo disegni nel piano di Gauss ti viene più facile trovare gli altri angoli senza calcolarti tutti i valori

Per farti capire meglio se non ti avessero fatto abituare ad usare la forma esponenziale, ho scritto \(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi+2k\pi}{4}\right)+\imath\sin\left(\frac{\pi+2k\pi}{4}\right) \) con \(\displaystyle k=0,1,2,3 \)