Numeri complessi
Ciao a tutti, oggi il professore ha spiegato i numeri complessi introducendo le formule di eulero ma non riesco a capire come si faccia a definire $cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2$ e $sinx=(e^(ix)+e^(-ix))/2$. Alla mia richiesta di chiarimenti lui ha risposto che è una convenzione, ma che vuol dire che hanno preso dei valori a caso ed hanno definito queste formule? Come si arriva alla dimostrazione??
Risposte
Partendo dagli sviluppi in serie di Taylor di esponenziale, seno, coseno, e ricordando le proprietà dell'unità immaginaria, si dimostra che
$e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$
Una volta dimostrata questa formula, quelle che hai scritto tu sono solo una semplice conseguenza.
EDIT: mi accorgo ora che la formula del seno che hai scritto non è esatta, al denominatore ci vuole $2i$.
$e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$
Una volta dimostrata questa formula, quelle che hai scritto tu sono solo una semplice conseguenza.
EDIT: mi accorgo ora che la formula del seno che hai scritto non è esatta, al denominatore ci vuole $2i$.
Non sono partiti inserendo dei numeri a caso, hanno solamente utilizzato dei concetti di matematica che tu studierai tra un po' di tempo.
Come hai potuto vedere dal post di Tipper che nomina concetti che tu non hai ancora studiato, ma che vedrai sicuramente prima del diploma. Scommetto che frequenti l'ITIS.
Gli argomenti nominati da Tipper si affrontano tra la fina della IV e la V.
Come hai potuto vedere dal post di Tipper che nomina concetti che tu non hai ancora studiato, ma che vedrai sicuramente prima del diploma. Scommetto che frequenti l'ITIS.
Gli argomenti nominati da Tipper si affrontano tra la fina della IV e la V.
"amelia":
Scommetto che frequenti l'ITIS.
Veramente frequento lo scientifico indirizzo tecnologico.
x Tipper: Mi hai ricordato un'altra domanda che dovevo fare, perchè quella è la formula che ho trovato sul libro mentre il professore ha scritto la formula corretta. Mi hai anticipato
Curiosità.
Per Tony125: il tuo professore ha spiegato la relazione di Euler ($e^(i theta)=cos(theta)+sen(theta)$) usando le formule $cos(theta)=frac{e^(itheta)+e^(-itheta)}{2i} e $sen(theta)=frac{e^(itheta)+e^(-itheta)}{2i}, oppure ha fatto il contrario, cioè ha usato la relazione di Euler per trovare quelle due formule?
Per Tony125: il tuo professore ha spiegato la relazione di Euler ($e^(i theta)=cos(theta)+sen(theta)$) usando le formule $cos(theta)=frac{e^(itheta)+e^(-itheta)}{2i} e $sen(theta)=frac{e^(itheta)+e^(-itheta)}{2i}, oppure ha fatto il contrario, cioè ha usato la relazione di Euler per trovare quelle due formule?
Occhio Wizard, stavolta tu hai messo un $i$ di troppo al denominatore del coseno. Le due formule corrette sono
$costheta=(e^(itheta)+e^(-itheta))/2$
$sentheta=(e^(itheta)-e^(-itheta))/(2i)$
$costheta=(e^(itheta)+e^(-itheta))/2$
$sentheta=(e^(itheta)-e^(-itheta))/(2i)$
Da queste due formule si ottiene quella per la tangente : $ tan theta = (e^(itheta)-e^(-itheta))/(i*(e^(itheta)+e^(-itheta))$ =$ - i(e^(itheta)-e^(-itheta))/((e^(itheta)+e^(-itheta)) $
"amelia":
Gli argomenti nominati da Tipper si affrontano tra la fina della IV e la V.
Io ho fatto un liceo scientifico PNI con una prof coi fiocchi che ci ha fatto fare di tutto e di più, ma la forma esponenziale dei complessi non l'abbiamo proprio vista.
Tipper ha detto ...Partendo dagli sviluppi in serie di Taylor di esponenziale, seno, coseno..
Questi sono gli argomenti che si affrontano tra la fine della IV e l'inizio della V in un ITIS dove i numeri complessi sono usati in tante applicazioni nelle discipline tecniche.
In un scientifico PNI sicuramente avrai visto lo sviluppo in serie di Taylor, per i numeri complessi invece si tratta di uno di quegli argomenti a discrezione del docente. sicuramente la tua insegnante ha preferito sviluppare altri argomenti che lei considerava più formativi.
Questi sono gli argomenti che si affrontano tra la fine della IV e l'inizio della V in un ITIS dove i numeri complessi sono usati in tante applicazioni nelle discipline tecniche.
In un scientifico PNI sicuramente avrai visto lo sviluppo in serie di Taylor, per i numeri complessi invece si tratta di uno di quegli argomenti a discrezione del docente. sicuramente la tua insegnante ha preferito sviluppare altri argomenti che lei considerava più formativi.
"WiZaRd":
Curiosità.
Per Tony125: il tuo professore ha spiegato la relazione di Euler ($e^(i theta)=cos(theta)+sen(theta)$) usando le formule $cos(theta)=frac{e^(itheta)+e^(-itheta)}{2i} e $sen(theta)=frac{e^(itheta)+e^(-itheta)}{2i}, oppure ha fatto il contrario, cioè ha usato la relazione di Euler per trovare quelle due formule?
E' partito dalla formula $Z=cos(theta)+isen(theta)$ e effettuando le sostituzioni è arrivato alla formula di Euler, in pratica ha voluto dimostrare che $Z=e^(itheta)$
Il problema reale adesso nella mia classe è che nessuno ha la minima idea di cosa sia un esponenziale (il prof ha solo detto che è una funzione che cresce velocemente e ce l'ha dimostrato usando la funzione $e^x$ della calcolatrice
) per cui non ho ancora capito il legame tra un esponenziale ed i numeri complessi. Tra l'altro non ho capito come sono definite queste formule, mi spiego sono funzioni in variabile $theta$? Se le plotto su derive cosa ne ottengo??p.s. A cosa serve la formula per la tangente? Non è presente tra le formule di eulero
Infatti non si chiama formula di Eulero ma di Camillo
Mi sembra che il prof abbia buttato delle formule senza neppure preparare il campo ; non conosci la funzione esponenziale ?
Fai un grafico e vedrai meglio l'andamento , anzi fanne due di grafici : uno con una base $> 1 $ ad es. $ y = 2 ^x $ ,l'altro con una base$ < 1 $ , ad es. $ y = (1/2)^x $ .
La prima funzione è sempre positiva e sempre crescente ; la seconda sempre positiva pure lei ma sempre decrescente.
P.S. la funzioni esponenziale è l' inversa della funzione logaritmo.
$ y = log_(10) x $ ----> $10^y = x $ , scambiando le variabili ottengo $y = 10^x $ e la funzione logaritmica ed esponenziale sono simmetriche rispetto alla bisettrice del primo quadrante .
Mi sembra che il prof abbia buttato delle formule senza neppure preparare il campo ; non conosci la funzione esponenziale ?
Fai un grafico e vedrai meglio l'andamento , anzi fanne due di grafici : uno con una base $> 1 $ ad es. $ y = 2 ^x $ ,l'altro con una base$ < 1 $ , ad es. $ y = (1/2)^x $ .
La prima funzione è sempre positiva e sempre crescente ; la seconda sempre positiva pure lei ma sempre decrescente.
P.S. la funzioni esponenziale è l' inversa della funzione logaritmo.
$ y = log_(10) x $ ----> $10^y = x $ , scambiando le variabili ottengo $y = 10^x $ e la funzione logaritmica ed esponenziale sono simmetriche rispetto alla bisettrice del primo quadrante .
Al di là di tutto, questa mi pare grave per un prof di liceo scientifico:
in più ha scritto queste formule senza aver chiarito bene gli esponenziali... significa dare agli studenti nozioni da imparare a memoria senza alcuna giustificazione... povera scuola!
Alla mia richiesta di chiarimenti lui ha risposto che è una convenzione
in più ha scritto queste formule senza aver chiarito bene gli esponenziali... significa dare agli studenti nozioni da imparare a memoria senza alcuna giustificazione... povera scuola!
"Manuk":
in più ha scritto queste formule senza aver chiarito bene gli esponenziali... significa dare agli studenti nozioni da imparare a memoria senza alcuna giustificazione... povera scuola!
Vuoi sapere la cosa più bella?? Questo prof è un supplente ed i miei compagni lo preferiscono nettamente rispetto al vecchio prof che dimostrava alla perfezione tutto quello che diceva. Loro con questo tipo di lezioni capiscono qualcosa, ora non so se riescono a capire o credono solo di aver capito...
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