Numeri complessi
Salve, perchè nella formula di elevamento a potenza di un numero complesso in forma trigonometrica non va aggiunta la periodicità all'angolo e in quella di radice n-esima si ?
grazie
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Risposte
Perché, fissato un certo $n$, c'è un'unica potenza n-esima ma $n$ radici n-esime.
Possiamo vederlo col facilissimo numero $a=1$, che ha modulo $1$ ed argomento $0+2kpi$. Per il suo cubo otteniamo
$x=a^3=>x=1^3=>x=1$, sempre con modulo $1$ ed argomento $0+2kpi$.
Invece per la radice abbiamo
$x=root(3)a=>x=root(3)1=>x^3-1=0=>(x-1)(x^2+x+1)=0=>x=1vvx=(-1+-sqrt3 i)/2$
e tutte le tre soluzioni hanno modulo $1$, mentre gli argomenti sono dati da $(2pi)/3+2kpi$
Ho sempre aggiunto il $+2kpi$, anche se spesso nella definizione di argomento si dice di ometterlo.
Possiamo vederlo col facilissimo numero $a=1$, che ha modulo $1$ ed argomento $0+2kpi$. Per il suo cubo otteniamo
$x=a^3=>x=1^3=>x=1$, sempre con modulo $1$ ed argomento $0+2kpi$.
Invece per la radice abbiamo
$x=root(3)a=>x=root(3)1=>x^3-1=0=>(x-1)(x^2+x+1)=0=>x=1vvx=(-1+-sqrt3 i)/2$
e tutte le tre soluzioni hanno modulo $1$, mentre gli argomenti sono dati da $(2pi)/3+2kpi$
Ho sempre aggiunto il $+2kpi$, anche se spesso nella definizione di argomento si dice di ometterlo.
perchè $(-i)^6 = -1$ se $-1^6 * i^6 = 1$ ?
Fai attenzione:
$(-i)^6 = (-1)^6*i^6 = 1*-1 = -1$
$(-i)^6 = (-1)^6*i^6 = 1*-1 = -1$
Per calcolare il modulo della radice n-esima di un numero perchè elevo al quadrato solo il numero sotto radice e non tutta la radice ?
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A me sembra la stessa cosa: $(sqrta)^2=sqrt(a^2)$. Forse intendevi qualcos'altro?
A me sembra la stessa cosa: $(sqrta)^2=sqrt(a^2)$. Forse intendevi qualcos'altro?
per esempio dobbiamo trovare il modulo di radice quinta di 32 si eleva al quadrato tutta la radice quinta o solo il 32 ?
Veramente io non faccio nessuna elevazione a quadrato: 32 ha modulo 32 e la sua radice quinta ha modulo $root(5)32=2$.
Credo che tu ti stia confondendo con esercizi di questo tipo: calcolare la radice quarta di $z=8+8sqrt3i$. In questo caso il modulo di $z$ è $sqrt(8^2+(8sqrt3)^2)=sqrt(256)=16$; il modulo della radice è quindi $root(4)16=2$ e poi pensi all'argomento.
Credo che tu ti stia confondendo con esercizi di questo tipo: calcolare la radice quarta di $z=8+8sqrt3i$. In questo caso il modulo di $z$ è $sqrt(8^2+(8sqrt3)^2)=sqrt(256)=16$; il modulo della radice è quindi $root(4)16=2$ e poi pensi all'argomento.
come faccio a scrivere in forma trigonometrica numeri come $\sqrt(i)$ o $\sqrt(1-i\sqrt3)$ ?
grazie
grazie
Comincia a scrivere in forma trigonometrica i radicandi: ad esempio $i$ ha modulo ... ed argomento ...; ricordi come si fa? Poi applichi la regola per la radice: il modulo è la radice del modulo e l'argomento si ottiene dividendo quello iniziale (con la sua periodicità) per l'indice di radice. Prova a farlo, così vediamo se hai capito bene.
si mi è riuscito 
un altro esercizio dice di risolvere in C l'equazione $ax^3i - 2i + 2 = 0$ con $a$ positivo e appartenente ai reali e poi determinare il valore di a in modo che le soluzioni abbiano raggio 2, come lo risolvo visto che ci sono 2 variabili ?
grazie
un altro esercizio dice di risolvere in C l'equazione $ax^3i - 2i + 2 = 0$ con $a$ positivo e appartenente ai reali e poi determinare il valore di a in modo che le soluzioni abbiano raggio 2, come lo risolvo visto che ci sono 2 variabili ?
grazie
Con qualche passaggio, che lascio a te, ottieni
$x^3=1/a(2+2i)$
Poiché $a$ è reale e positivo, non ha influenza sull'argomento e quindi ti basterà estrarne la radice cubica, che moltiplichi per il modulo di ciò che ottieni calcolando le radici cubiche della parentesi.
$x^3=1/a(2+2i)$
Poiché $a$ è reale e positivo, non ha influenza sull'argomento e quindi ti basterà estrarne la radice cubica, che moltiplichi per il modulo di ciò che ottieni calcolando le radici cubiche della parentesi.
Come mai questa equazione ha solo 6 soluzioni invece di 9 ?
$x^9 + 8x^6 -64x^3 - 512 = 0$
$x^9 + 8x^6 -64x^3 - 512 = 0$
Perché ci sono tre soluzioni doppie. Vediamolo con i numeri reali: l'equazione $(x-1)(x-5)^2=0$ ha come soluzioni solo $1,5$, ma il $5$ è soluzione doppia, e conta per 2. Nel tuo caso hai
$(x^3+8)^2(x^3-8)=0$
e le tre soluzioni di $x^3+8=0$ sono doppie.
$(x^3+8)^2(x^3-8)=0$
e le tre soluzioni di $x^3+8=0$ sono doppie.
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