Notazione funzione inversa (derivazione)
Ciao a tutti, mi accorgo di avere un problema con la notazione della funzione inversa, infatti la regoladel titole dice:
[copio dal libro]
$(f^(-1))'(y)=1/(f'(f^(-1)(y))$
Mettiamo per fissare le idee che
$f(x)=logx$
$f^(-1)(y)=e^y$
Allora qualcosa non funziona infatti
$f^(-1)(y)=e^y$ quindi il denominatore sarebbe: $f'(e^y)$ quando invece so che è $f'(logx)$
Il problema è sulle notazioni, non sul teorema perché l'ho capito
[copio dal libro]
$(f^(-1))'(y)=1/(f'(f^(-1)(y))$
Mettiamo per fissare le idee che
$f(x)=logx$
$f^(-1)(y)=e^y$
Allora qualcosa non funziona infatti
$f^(-1)(y)=e^y$ quindi il denominatore sarebbe: $f'(e^y)$ quando invece so che è $f'(logx)$
Il problema è sulle notazioni, non sul teorema perché l'ho capito
Risposte
Non hai nessun problema.
Se $f(x) = log x$ ed $f^(-1) (y) = e^y$, allora $f^\prime (x) = 1/x$ e perciò:
\[
\Big( f^{-1} (y)\Big)^\prime = \frac{1}{f^\prime (f^{-1}(y))} = \frac{1}{\frac{1}{e^y}}=e^y
\]
come ti aspetti.
Se $f(x) = log x$ ed $f^(-1) (y) = e^y$, allora $f^\prime (x) = 1/x$ e perciò:
\[
\Big( f^{-1} (y)\Big)^\prime = \frac{1}{f^\prime (f^{-1}(y))} = \frac{1}{\frac{1}{e^y}}=e^y
\]
come ti aspetti.
Hai ragione mi sono espresso malissimo e confuso a furia di ragionarci sopra mi sono incespicato, posso riprovarci perfavore?
Sostanzialmente volevo dire questo:
[ $(f^(-1))'(y)$ uso questa perché il mio libro la scrive così e mi ci sono abituato, ma ho capito la tua scrittura ]
$(f^(-1))'(y)=1/(f'(x))=1/(f'(f^(-1)(y))$ (2)
usando l'esempio logaritmo ed esponenziale di cui sopra potrei riscrivere (essendo $x=e^y$) usando il secondo termine della (2)
$(f^(-1))'(y)=1/(f'(x))=1/(f'(e^y))$
e così facendo mi accorgo che $f'(e^y)$ sarebbe la derivata prima di $e^y$ che è essa stessa la sua derivata ottenendo $(f^(-1))'(y)=1/e^y$.
Eppure ho fatto una sostituzione veritiera perché $x=e^y$.
Però se non facessi tale sostituzione averi che $f'(x)=1/(1/x)$ poiché sarebbe la derivata di $f(x)=logx$
Ma a sua volta sfruttando il terzo membro della (2):
$1/(1/e^y))$ come scrivevi tu.
Che pasticcio! 3 cose diverse. Eppure la (2) è proprio copiata tale e quale dal mio libro.
Sostanzialmente volevo dire questo:
[ $(f^(-1))'(y)$ uso questa perché il mio libro la scrive così e mi ci sono abituato, ma ho capito la tua scrittura ]
$(f^(-1))'(y)=1/(f'(x))=1/(f'(f^(-1)(y))$ (2)
usando l'esempio logaritmo ed esponenziale di cui sopra potrei riscrivere (essendo $x=e^y$) usando il secondo termine della (2)
$(f^(-1))'(y)=1/(f'(x))=1/(f'(e^y))$
e così facendo mi accorgo che $f'(e^y)$ sarebbe la derivata prima di $e^y$ che è essa stessa la sua derivata ottenendo $(f^(-1))'(y)=1/e^y$.
Eppure ho fatto una sostituzione veritiera perché $x=e^y$.
Però se non facessi tale sostituzione averi che $f'(x)=1/(1/x)$ poiché sarebbe la derivata di $f(x)=logx$
Ma a sua volta sfruttando il terzo membro della (2):
$1/(1/e^y))$ come scrivevi tu.
Che pasticcio! 3 cose diverse. Eppure la (2) è proprio copiata tale e quale dal mio libro.
"ginoide":
Sostanzialmente volevo dire questo:
[ $(f^(-1))'(y)$ uso questa perché il mio libro la scrive così e mi ci sono abituato, ma ho capito la tua scrittura ]
In realtà ho messo male io le parentesi...
Scusa.
"ginoide":
$(f^(-1))'(y)=1/(f'(x))=1/(f'(f^(-1)(y))$ (2)
usando l'esempio logaritmo ed esponenziale di cui sopra potrei riscrivere (essendo $x=e^y$) usando il secondo termine della (2)
$(f^(-1))'(y)=1/(f'(x))=1/(f'(e^y))$
e così facendo mi accorgo che $f'(e^y)$ sarebbe la derivata prima di $e^y$ che è essa stessa la sua derivata ottenendo $(f^(-1))'(y)=1/e^y$.
Eppure ho fatto una sostituzione veritiera perché $x=e^y$.
L'errore è nella parte che ho evidenziato in grassetto.
Il simbolo $f^\prime (e^y)$ non denota mica la derivata di $e^y$!
Quella si denoterebbe semplicemente con $(e^y)^\prime$ (oppure con $D[e^y]$ o $("d")/("d"y) e^y$, oppure con qualsiasi altra notazione che conosci...)
Il simbolo $f^\prime (e^y)$ denota la funzione composta da $f^\prime (x) =1/x$ (componente esterna) e da $f^(-1)(y)=e^y$ (componente interna), sicché:
\[
f^\prime (e^y) = \left. \frac{1}{x} \right|_{x=e^y} = \frac{1}{e^y}\; .
\]
[nota]Il simbolo \(\left. \frac{1}{x} \right|_{x=e^y}\) si legge "$1/x$ calcolato per $x=e^y$" e si calcola sostituendo $e^y$ al posto di $x$ nell'espressione letterale $1/x$. Questa è una notazione molto comune sui testi in inglese.[/nota][N.B.: La funzione composta è un argomento che usualmente si tratta al primo anno. Ti consiglio di andarlo a rivedere sul tuo vecchio libro.]
"ginoide":
Però se non facessi tale sostituzione averi che $f'(x)=1/(1/x)$ poiché sarebbe la derivata di $f(x)=logx$
Ma a sua volta sfruttando il terzo membro della (2):
$1/(1/e^y))$ come scrivevi tu.
Che pasticcio! 3 cose diverse. Eppure la (2) è proprio copiata tale e quale dal mio libro.
Questo è il ragionamento corretto, visto quanto detto sopra... Il fatto è che non avevi chiara la notazione e ciò ti creava ambiguità.
Grazie con il tuo aiuto e il ripasso consigliato ora mi ci ritrovo del tutto.
Buona continuazione, alla prossima
Buona continuazione, alla prossima
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