Notazione di polinomi
Ho una domanda da fare che mi ronza in testa da un po': è sempre possibile scrivere un polinomio come produttoria o sommatoria? Se si,
potreste illustrare come comporne la notazione? Grazie infinite per gli aiuti.
potreste illustrare come comporne la notazione? Grazie infinite per gli aiuti.
Risposte
Puoi sempre scrivere in forma compatta il polinomio $P(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_0$
$P(x) = sum_(i = 0)^(n) a_i x^i = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_0$
Il teorema fondamentale dell'algebra ti garantisce una fattorizzazione di $P$, quindi lo puoi scrivere anche come produttoria finita.
$P(x) = sum_(i = 0)^(n) a_i x^i = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_0$
Il teorema fondamentale dell'algebra ti garantisce una fattorizzazione di $P$, quindi lo puoi scrivere anche come produttoria finita.
Produttoria che non è detto sia composta solo da fattori di primo grado (del tipo $(x-a)$), dipende dal campo su cui lavori.
Paola
Paola
Credo che un esempio pratico mi possa chiarire tutto: come potrei scrivere in sommatoria e produttoria il polinomio [tex]5x^3+2x+8[/tex]?
La sommatoria come sopra di solito indica un polinomio generico, non è affatto utile nel tuo caso.
Potresti scrivere, che so
$\sum_{n=0}^3 a_n x^n, a_0 = 8, a_1=2, a_2=0,a_3=5$
ma fa un po' schifo!
Per quanto riguarda la scomposizione di questo polinomio, purtroppo con il metodo di Ruffini non funziona, quindi non so aiutarti. Sicuramente ha almeno una radice, la teoria lo garantisce, ma non intera.
Paola
Potresti scrivere, che so
$\sum_{n=0}^3 a_n x^n, a_0 = 8, a_1=2, a_2=0,a_3=5$
ma fa un po' schifo!
Per quanto riguarda la scomposizione di questo polinomio, purtroppo con il metodo di Ruffini non funziona, quindi non so aiutarti. Sicuramente ha almeno una radice, la teoria lo garantisce, ma non intera.
Paola
Quello che ho scritto è soltanto un polinomio qualunque inventato e che ho scritto a casaccio, comunque un' ultima domanda: quando è utile scrivere un polinomio in produttoria o sommatoria?
In sommatoria direi mai. Di solito la usi nella teoria per denotare un polinomio generico. Invece di scriverlo in forma estesa ($a_n x^n + ...+a_1 x + a_0$) abbrevi scrivendo con il simbolo di sommatoria. Quando hai un polinomio specifico tra le mani, non ha senso scriverlo in sommatoria, come ti ho fatto vedere nell'ultimo post è complicato e inutile.
La produttoria (meglio chiamarla scomposizione in fattori) è decisamente più utile, perché spesso ti permette di fare comode semplificazioni. Un esempio:
$\frac{x^3 -1}{x-1}=\frac{(x -1)(x^2 +x+1)}{x-1}=x^2 +x+1$
oppure è utile anche se devi risolvere un'equazione:
$x^3-2x^2-x+2=0 \Rightarrow (x-1)(x+1)(x-2)=0\Rightarrow$soluzioni:$x=1,-1,2$
Paola
La produttoria (meglio chiamarla scomposizione in fattori) è decisamente più utile, perché spesso ti permette di fare comode semplificazioni. Un esempio:
$\frac{x^3 -1}{x-1}=\frac{(x -1)(x^2 +x+1)}{x-1}=x^2 +x+1$
oppure è utile anche se devi risolvere un'equazione:
$x^3-2x^2-x+2=0 \Rightarrow (x-1)(x+1)(x-2)=0\Rightarrow$soluzioni:$x=1,-1,2$
Paola
Grazie mille Paola! Mi hai chiarito un bel dubbio.
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