Non riesco a risolvere un quesito
Ciao a tutti.
Il seguente è un quesito dato lo scorso anno agli esami suppletivi di maturità di Liceo Scientifico.
Dimostrare che l'equazione:
$x^5-2x^3+1=0$
ha una sola soluzione RAZIONALE.
Grazie a chi di voi mi potrà aiutare.
Il seguente è un quesito dato lo scorso anno agli esami suppletivi di maturità di Liceo Scientifico.
Dimostrare che l'equazione:
$x^5-2x^3+1=0$
ha una sola soluzione RAZIONALE.
Grazie a chi di voi mi potrà aiutare.
Risposte
Usa Ruffini: vedi immediatamente che 1 è radice. Quindi $f(x)=(x-1)(x^4+x^3-x^2-x-1)$.
A questo punto, basta far vedere che $g(x)=x^4+x^3-x^2-x-1$ non ha radici razionali. Le radici razionali di $g(x)$, se esistono, appartengono all'insieme ${+-1}$. Vedi subito, però, che $g(1)!=0!=g(-1)$.
Pertanto $f(x)$ ha soltanto una radice razionale.
EDIT: in generale, può essere utile il seguente teorema.
sia $h(x)=a_0+...+a_n*x^n$ un polinomio di grado $n$. Allora le radici RAZIONALI di $h(x)$, se esistono, sono nella forma $+-\frac{a}{b}$, dove $a$ e $b$ sono numeri interi tali che $a$ divide $a_0$ e $b$ divide $a_n$. Si suppone ovviamente $b!=0$.
A questo punto, basta far vedere che $g(x)=x^4+x^3-x^2-x-1$ non ha radici razionali. Le radici razionali di $g(x)$, se esistono, appartengono all'insieme ${+-1}$. Vedi subito, però, che $g(1)!=0!=g(-1)$.
Pertanto $f(x)$ ha soltanto una radice razionale.
EDIT: in generale, può essere utile il seguente teorema.
sia $h(x)=a_0+...+a_n*x^n$ un polinomio di grado $n$. Allora le radici RAZIONALI di $h(x)$, se esistono, sono nella forma $+-\frac{a}{b}$, dove $a$ e $b$ sono numeri interi tali che $a$ divide $a_0$ e $b$ divide $a_n$. Si suppone ovviamente $b!=0$.
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