Non riesco a capire la domanda del problema...
Salve sto svolgendo un esercizio (ho googlato) ma ho trovato solo spiegazioni in "matematichese aggressivo".
Non riesco a capire questa consegna:
La regione R delimitata da $y=x^(-k)$ e da $y=0$ e alla destra di $x=1$ è fatta ruotare attorno all’asse $x$. Determinare tutti i valori di $k$ per cui il volume del solido è finito.
ho disegnato su un foglio la regione ... ossia sopra all asse delle $x$ e comincia alla destra di $x=1$
benissimo...
ma cosa s'intende con volume finito?
in parole povere devo trovare i valori di $k$ che permettono cosa? di trovare il volume del solido finito... e cioè ?
grazie
Non riesco a capire questa consegna:
La regione R delimitata da $y=x^(-k)$ e da $y=0$ e alla destra di $x=1$ è fatta ruotare attorno all’asse $x$. Determinare tutti i valori di $k$ per cui il volume del solido è finito.
ho disegnato su un foglio la regione ... ossia sopra all asse delle $x$ e comincia alla destra di $x=1$
benissimo...
ma cosa s'intende con volume finito?
in parole povere devo trovare i valori di $k$ che permettono cosa? di trovare il volume del solido finito... e cioè ?
grazie
Risposte
Nel caso $k<0$ hai un arco di curva che passa per $(0,0)$ e per $(1,1)$ e che ruotando dà un volume finito.
Nel caso $k=0$ addirittura il volume non si forma neppure.
Nel caso in cui $k>0$ dovresti essere in grado di calcolare integrali generalizzati per poter verificare se il volume è finito o no.
Nel caso $k=0$ addirittura il volume non si forma neppure.
Nel caso in cui $k>0$ dovresti essere in grado di calcolare integrali generalizzati per poter verificare se il volume è finito o no.
grazie @melia, ma non capisco se la regione si ferma a $x=1$ oppure comincia da $x=1$
inoltre come mai se $k=0$ non ho un volume? io vedo una retta che se fatta ruotare puo generare un volume no ?
per volume finito s'intende calcolabile da un numero finito? e cioe non infinito ?
grazie
---edit---
Provo comunque a generalizzare il tutto butto giu un po di calcoli per vedere se esce fuori qualcosa (tenendo conto che gli ho gia svolti su un foglio, ora li butto qui in bella copia).
La situazione a livello grafico è la seguente:
[geogebra]
la regione $R$ quindi inizia da $1$ e termina a $+oo$ che per comodità chiamo $a$ quindi $a=+oo$
a questo punto, avendo posto gli estremi, inizio a calcolare il volume con rotazione intorno all'asse $x$ del mio solido.
quindi
$pi int_(1)^(a) (x^(-k))^2 dx = pi[(x^(-2k+1))/(-2k+1)]_(1)^(a)=pi[1/(1-2k)x^(1-2k)]_(1)^(a)=pi((a^(1-2k))/(1-2k)-(1^(1-2k))/(1-2k))=pi((a^(1-2k))/(1-2k)-1/(1-2k))=volume$
a questo punto posso dire che il volume è direttamente espresso in funzione di $k$ (ovvio) ma anche di $a$ (ovvio) quindi sono queste 2 variabili che lo influenzano (e so gia che $a=oo$) perche il problema ci ha imposto che $R$ parte da $x=1$
Quindi a questo punto provo a vedere quanto vale il volume se $a$ tende ad $+oo$ possibile?
$lim_(a->oo) pi((a^(1-2k))/(1-2k)-1/(1-2k)) = lim_(a->oo) pi/(1-2k)(a^(1-2k)-1)=pi/(1-2k)*lim_(a->oo)(a^(1-2k)-1)$
Adesso l'unico modo per evitare di avere un risultato non-finito è quello di mandare $a$ al denominatore cioe avere qualcosa nella forma del tipo $1/oo$ perche seno otterrei come risultato o $+oo$ oppure $-oo$
quindi $1-2k < 0$
ne consegue: $k>1/2$
possibile?
grazie
inoltre come mai se $k=0$ non ho un volume? io vedo una retta che se fatta ruotare puo generare un volume no ?
per volume finito s'intende calcolabile da un numero finito? e cioe non infinito ?
grazie
---edit---
Provo comunque a generalizzare il tutto butto giu un po di calcoli per vedere se esce fuori qualcosa (tenendo conto che gli ho gia svolti su un foglio, ora li butto qui in bella copia).
La situazione a livello grafico è la seguente:
[geogebra]
la regione $R$ quindi inizia da $1$ e termina a $+oo$ che per comodità chiamo $a$ quindi $a=+oo$
a questo punto, avendo posto gli estremi, inizio a calcolare il volume con rotazione intorno all'asse $x$ del mio solido.
quindi
$pi int_(1)^(a) (x^(-k))^2 dx = pi[(x^(-2k+1))/(-2k+1)]_(1)^(a)=pi[1/(1-2k)x^(1-2k)]_(1)^(a)=pi((a^(1-2k))/(1-2k)-(1^(1-2k))/(1-2k))=pi((a^(1-2k))/(1-2k)-1/(1-2k))=volume$
a questo punto posso dire che il volume è direttamente espresso in funzione di $k$ (ovvio) ma anche di $a$ (ovvio) quindi sono queste 2 variabili che lo influenzano (e so gia che $a=oo$) perche il problema ci ha imposto che $R$ parte da $x=1$
Quindi a questo punto provo a vedere quanto vale il volume se $a$ tende ad $+oo$ possibile?
$lim_(a->oo) pi((a^(1-2k))/(1-2k)-1/(1-2k)) = lim_(a->oo) pi/(1-2k)(a^(1-2k)-1)=pi/(1-2k)*lim_(a->oo)(a^(1-2k)-1)$
Adesso l'unico modo per evitare di avere un risultato non-finito è quello di mandare $a$ al denominatore cioe avere qualcosa nella forma del tipo $1/oo$ perche seno otterrei come risultato o $+oo$ oppure $-oo$
quindi $1-2k < 0$
ne consegue: $k>1/2$
possibile?
grazie
Possibilissimo.
ok, grazie.
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